Descreva a forma de variação da saída com o tempo para uma entrada degrau de um sistema de segunda ordem com um fator de amortecimento de a) 0, \mathbf{b}) 0,5, \mathbf{c}) 1,0 \mathrm{e} \mathbf{d )} 1,5.

Passo 1

O enunciado pede para descrever qualitativamente como se comporta a resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem, em função do fator de amortecimento \zeta. Para isso vamos usar o modo de resposta natural conhecido:
– para \zeta=0 temos sistema não amortecido;
– para 0<\zeta<1 temos resposta subamortecida;
– para \zeta=1 temos resposta criticamente amortecida;
– para \zeta>1 temos resposta superamortecida.

Passo 2

No caso \zeta=0 o sistema é puramente oscilatório sem decaimento. A saída, iniciando em zero e submetida a um degrau unitário, executa uma oscilação senoidal em torno de 1, com amplitude constante. Ou seja,
y(t)=1-\cos(\omega_n t)
e a oscilação nunca se reduz, ficando sempre com amplitude máxima igual a 2.

Passo 3

Para \zeta=0,5 o sistema é subamortecido. A resposta apresenta oscilações amortecidas: cruza o valor final 1 várias vezes, mas cada pico sucessivo tem amplitude menor, decaindo exponencialmente até estabilizar em 1. Matematicamente,
y(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin\bigl(\omega_d t\bigr),
com \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.

Passo 4

No caso crítico, \zeta=1,0, não há oscilações. A saída aproxima-se de 1 tão rápido quanto possível sem ultrapassá-lo. É a fronteira entre oscilações amortecidas e amortecimento puro. A forma típica é a soma de termos como
y(t)=1-\bigl(1+\omega_n t\bigr)e^{-\omega_n t},
monotônica e sem overshoot.

Passo 5

Quando \zeta=1,5 o sistema fica superamortecido. Também não há ultrapassagem de 1, mas a aproximação é mais lenta do que no caso crítico. A resposta é a soma de duas exponenciais decrescentes de ritmos diferentes, sem oscilações e sem overshoot.

Resposta

a) Para \zeta=0: oscilação senoidal de amplitude constante em torno de 1 (sem amortecimento).
b) Para \zeta=0,5: oscilações amortecidas, com amplitudes decrescentes até estabilizar em 1.
c) Para \zeta=1,0: comportamento criticamente amortecido, aproximação rápida e monotônica a 1, sem ultrapassar.
d) Para \zeta=1,5: resposta superamortecida, monotônica e mais lenta que o caso crítico, sem oscilações.

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