Descreva a forma de variação da saída com o tempo para uma entrada degrau de um sistema de segunda ordem com um fator de amortecimento de a)
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever qualitativamente como se comporta a resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem, em função do fator de amortecimento
. Para isso vamos usar o modo de resposta natural conhecido:
– para temos sistema não amortecido;
– para temos resposta subamortecida;
– para temos resposta criticamente amortecida;
– para temos resposta superamortecida.
– para
– para
– para
– para
Passo 2
No caso
o sistema é puramente oscilatório sem decaimento. A saída, iniciando em zero e submetida a um degrau unitário, executa uma oscilação senoidal em torno de 1, com amplitude constante. Ou seja,
e a oscilação nunca se reduz, ficando sempre com amplitude máxima igual a 2.
Passo 3
Para
o sistema é subamortecido. A resposta apresenta oscilações amortecidas: cruza o valor final
várias vezes, mas cada pico sucessivo tem amplitude menor, decaindo exponencialmente até estabilizar em
. Matematicamente,
com
.
Passo 4
No caso crítico,
, não há oscilações. A saída aproxima-se de 1 tão rápido quanto possível sem ultrapassá-lo. É a fronteira entre oscilações amortecidas e amortecimento puro. A forma típica é a soma de termos como
monotônica e sem overshoot.
Passo 5
Quando
o sistema fica superamortecido. Também não há ultrapassagem de
, mas a aproximação é mais lenta do que no caso crítico. A resposta é a soma de duas exponenciais decrescentes de ritmos diferentes, sem oscilações e sem overshoot.
Resposta
a) Para
: oscilação senoidal de amplitude constante em torno de 1 (sem amortecimento).
b) Para : oscilações amortecidas, com amplitudes decrescentes até estabilizar em 1.
c) Para : comportamento criticamente amortecido, aproximação rápida e monotônica a 1, sem ultrapassar.
d) Para : resposta superamortecida, monotônica e mais lenta que o caso crítico, sem oscilações.
b) Para
c) Para
d) Para