Um sistema em tempo discreto recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] conforme a seguinte equação:
y[n]= \begin{cases}x[n], & \text { se } n \text { é par, } \\\\ 2 x[n], & \text { se } n \text { é ímpar, }\end{cases}
O sistema é linear? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define um sistema discreto que associa a entrada x[n]\) à saída \(y[n]\) segundo
\[y[n] = \begin{cases} x[n], & \text{se \(n é par,}\ 2,x[n], & se n é ímpar. \end{cases}]
Para verificar se o sistema é linear, vamos testar as propriedades de additividade e homogeneidade (superposição).
Passo 2
Verificação da additividade: sejam duas entradas x_1[n]\) e \(x_2[n]\). A resposta ao sinal somado \(x_1[n]+x_2[n]\) é
\[T\{x_1[n]+x_2[n]\} = \begin{cases} x_1[n]+x_2[n], & \text{se \(n é par,}\ 2\bigl(x_1[n]+x_2[n]\bigr), & se [n) é ímpar. \end{cases}]
Por outro lado, somando as respostas individuais, temos
T\{x_1[n]\} + T\{x_2[n]\} = \begin{cases} x_1[n] + x_2[n], & \text{se \(n é par,}\ 2,x_1[n] + 2,x_2[n], & se n é ímpar, \end{cases}]
e como
2\bigl(x_1[n]+x_2[n]\bigr)=2\,x_1[n]+2\,x_2[n],
segue-se que
T\{x_1[n]+x_2[n]\} = T\{x_1[n]\} + T\{x_2[n]\}.
Passo 3
Verificação da homogeneidade: seja um escalar a\). A resposta ao sinal escalado \(a\,x[n]\) é
\[T\{a\,x[n]\} = \begin{cases} a\,x[n], & \text{se \(n é par,}\ 2,a,x[n], & se [n) é ímpar. \end{cases}]
Por outro lado,
a\,T\{x[n]\} = a\, \begin{cases} x[n], & \text{se \(n é par,}\ 2,x[n], & se [n) é ímpar, \end{cases} = \begin{cases} a\,x[n], & \text{se \(n\] é par,}\\ 2\,a\,x[n], & \text{se \(n\) é ímpar.} \end{cases}]
Logo,
T\{a\,x[n]\} = a\,T\{x[n]\}.
Passo 4
Como o sistema satisfaz tanto a additividade quanto a homogeneidade, concluímos que ele é linear.