Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] :
y[n]=\operatorname{mediana}\{x[n-1], x[n], x[n+1]\},
onde mediana \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} é a função que retorna a mediana entre x_{1}, x_{2} e x_{3}. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é causal? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta um filtro de mediana em tempo discreto, cujo comportamento é dado pela equação de diferenças
y[n] = \operatorname{mediana}\{\,x[n-1],\,x[n],\,x[n+1]\},
e pergunta se o sistema é causal. O conteúdo aqui é análise de causalidade de sistemas LTI (ainda que este não seja linear).

Passo 2

Recordando a definição de causalidade: um sistema é causal se, para todo instante n, a saída y[n] depende somente de entradas x[k] com k \le n, ou seja, somente de valores passados e presentes da entrada.

Passo 3

Na equação
y[n] = \operatorname{mediana}\{\,x[n-1],\,x[n],\,x[n+1]\},
observamos que, além de x[n-1] e x[n], a saída em n depende de x[n+1], que é um valor futuro da entrada.

Passo 4

Como y[n] utiliza x[n+1], ou seja, depende de uma amostra da entrada em instante posterior a n, o sistema não satisfaz a definição de causalidade.

Resposta

O sistema não é causal, pois requer a amostra futura x[n+1] para computar y[n].

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