Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada
e produz uma sequência de saída
:
onde mediana
é a função que retorna a mediana entre
e
. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é causal? Justifique sua resposta.
O sistema é causal? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado apresenta um filtro de mediana em tempo discreto, cujo comportamento é dado pela equação de diferenças
e pergunta se o sistema é causal. O conteúdo aqui é análise de causalidade de sistemas LTI (ainda que este não seja linear).
Passo 2
Recordando a definição de causalidade: um sistema é causal se, para todo instante
, a saída
depende somente de entradas
com
, ou seja, somente de valores passados e presentes da entrada.
Passo 3
Na equação
observamos que, além de
e
, a saída em
depende de
, que é um valor futuro da entrada.
Passo 4
Como
utiliza
, ou seja, depende de uma amostra da entrada em instante posterior a
, o sistema não satisfaz a definição de causalidade.
Resposta
O sistema não é causal, pois requer a amostra futura
para computar
.