Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada x[n] e produz uma sequência de saída y[n] :
y[n]=\operatorname{mediana}\{x[n-1], x[n], x[n+1]\},
onde mediana \left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} é a função que retorna a mediana entre x_{1}, x_{2} e x_{3}. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define um filtro de mediana em tempo discreto por
y[n] = \operatorname{mediana}\{\,x[n-1],\,x[n],\,x[n+1]\}
e pergunta se esse sistema é invariante no tempo. Vamos usar a definição de invariança no tempo para verificar.

Passo 2

Um sistema T\{\cdot\} é invariante no tempo se, para qualquer entrada x[n] e qualquer deslocamento inteiro k, o seguinte vale:
T\{\,x[n-k]\,\} = y[n-k],
onde y[n]=T\{x[n]\}.

Passo 3

Seja x_1[n]=x[n-k]. Então a saída associada é
y_1[n] = \operatorname{mediana}\{\,x_1[n-1],\,x_1[n],\,x_1[n+1]\} = \operatorname{mediana}\{\,x[n-k-1],\,x[n-k],\,x[n-k+1]\}.
Por outro lado, a saída atrasada y[n-k] do sistema original é exatamente
y[n-k] = \operatorname{mediana}\{\,x[(n-k)-1],\,x[n-k],\,x[(n-k)+1]\} = \operatorname{mediana}\{\,x[n-k-1],\,x[n-k],\,x[n-k+1]\}.
Logo, para todo n e todo k vale y_1[n]=y[n-k].

Resposta

Sim. O filtro de mediana dado é invariante no tempo, pois atrasar a entrada em k atras a saída em k.

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