Exercício 4. Para remover certos ruídos em arquivos de áudio e de imagens, pode-se usar o filtro baseado em mediana. Uma versão deste filtro é dada pelo seguinte sistema em tempo discreto, que recebe uma sequência de sinais de entrada
e produz uma sequência de saída
:
onde mediana
é a função que retorna a mediana entre
e
. Com base na equação de diferenças do sistema, responda:
O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.
O sistema é invariante no tempo? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado define um filtro de mediana em tempo discreto por
e pergunta se esse sistema é invariante no tempo. Vamos usar a definição de invariança no tempo para verificar.
Passo 2
Um sistema
é invariante no tempo se, para qualquer entrada
e qualquer deslocamento inteiro
, o seguinte vale:
onde
.
Passo 3
Seja
. Então a saída associada é
Por outro lado, a saída atrasada
do sistema original é exatamente
Logo, para todo
e todo
vale
.
Resposta
Sim. O filtro de mediana dado é invariante no tempo, pois atrasar a entrada em
atras a saída em
.