Um sistema de três estrelas consiste de duas estrelas de massa m orbitando em uma mesma órbita uma estrela de massa M. As estrelas de massa m estão sempre em lados diametralmente opostos e orbitam sempre no mesmo sentido. Obtenha uma expressão para o período das estrelas de massa m nas seguintes hipóteses:
m \ll M;

Passo 1

O enunciado dá um sistema com três estrelas: duas estrelas de massa m que orbitam numa mesma órbita e sempre ficam em lados diametralmente opostos, e uma estrela de massa M localizada no centro dessa órbita por simetria. As duas pequenas orbitam no mesmo sentido. A tarefa é obter uma expressão para o período das estrelas de massa m na hipótese \,m \ll M.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{- massas das pequenas estrelas: } m,\\\ &\text{- massa da estrela central: } M,\\\ &\text{- as pequenas estão em lados opostos a uma mesma distância } r \text{ do centro (ou seja, raio da órbita } r\text{),}\\\ &\text{- orbitam circularmente e no mesmo sentido,}\\\ &\text{- hipótese pedida: } m \ll M. \end{aligned}ãâóó
O que se pede:
\text{achar o período } T \text{ de cada estrela de massa } m \text{ sob a hipótese } m \ll M.íó

Passo 2

Entender as forças atuantes e escolher a equação de movimento apropriada.
Acontece o seguinte para uma das massas m (a outra é simétrica): há atração gravitacional da estrela central M para o centro e também atração gravitacional da outra massa m. Como as duas pequenas estão diametralmente opostas, a linha que liga uma pequena à outra passa pelo centro, então a força entre as duas pequenas aponta radialmente para o centro (no sentido de puxar cada uma em direção ao centro). Assim as duas contribuições de força são radiais e somam-se para fornecer a força centrípeta que mantém o movimento circular.
Vamos usar:
\text{- constante gravitacional: } G, \qquad \text{velocidade angular: } \omega, \qquad \text{período: } T=\dfrac{2\pi}{\omega}.í

Passo 3

Escrever as magnitudes das forças gravitacionais e explicar cada termo.
Força gravitacional entre a massa central M e a pequena m, a uma distância r, tem módulo dado pela lei de Newton:
F_M = \dfrac{G M m}{r^2}.
Aqui G é a constante gravitacional, M e m são as massas e r é a distância entre M e a pequena massa.
Força gravitacional entre as duas massas m. Elas estão separadas por distância 2r (pois estão em lados opostos do círculo). O módulo dessa força é
F_{m-m} = \dfrac{G m^2}{(2r)^2} = \dfrac{G m^2}{4 r^2}.
Essa força também aponta radialmente em direção ao centro (do ponto de vista de uma das massas, a outra está do outro lado, portanto a força puxa através do centro).

Passo 4

Somar as forças radiais que fornecem a aceleração centrípeta e escrever a condição de equilíbrio dinâmico.
A força radial total que gera a aceleração centrípeta é soma das duas forças acima:
F_{\text{rad}} = F_M + F_{m-m} = \dfrac{G M m}{r^2} + \dfrac{G m^2}{4 r^2}.
A força centrípeta necessária para manter a massa m em movimento circular de raio r com velocidade angular \omega é
F_{\text{centr}} = m \omega^2 r.
Igualando força radial total à força centrípeta:
m \omega^2 r = \dfrac{G M m}{r^2} + \dfrac{G m^2}{4 r^2}.

Passo 5

Simplificar a equação para isolar \omega^2 e interpretar cada termo.
Dividimos ambos os lados por m (não nulo) e por r quando conveniente:
\omega^2 = \dfrac{G M}{r^3} + \dfrac{G m}{4 r^3} = \dfrac{G}{r^3}\left(M + \dfrac{m}{4}\right).
Interpretação: a velocidade angular depende da soma efetiva de massas M + m/4. O termo m/4 é a contribuição da atração da outra pequena massa.

Passo 6

Expressar o período T em função de r,M,m,G (expressão exata) e depois aplicar a hipótese m \ll M.
Da definição T = \dfrac{2\pi}{\omega} e da expressão para \omega^2 obtemos a expressão exata
T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G\left(M + \dfrac{m}{4}\right)}}.
Agora aplicamos a hipótese \,m \ll M. Nesse caso o termo \dfrac{m}{4} é muito menor que M, então podemos desprezá-lo no denominador como primeira aproximação. Assim, ao primeiro ordem em \dfrac{m}{M},
T \approx 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}.
Se quiser a correção de primeira ordem em \dfrac{m}{M}, podemos usar a expansão binomial:
T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}\left(1 + \dfrac{m}{4M}\right)^{-1/2} \approx 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}\left(1 - \dfrac{m}{8M} + \cdots\right).
Mas, conforme pedido, a hipótese m \ll M permite manter só o termo principal.

Resposta

T \approx 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}.

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