Um sistema de três estrelas consiste de duas estrelas de massa m orbitando em uma mesma órbita uma estrela de massa M. As estrelas de massa m estão sempre em lados diametralmente opostos e orbitam sempre no mesmo sentido. Obtenha uma expressão para o período das estrelas de massa m nas seguintes hipóteses: m \ll M;
Passo 1
O enunciado dá um sistema com três estrelas: duas estrelas de massa m que orbitam numa mesma órbita e sempre ficam em lados diametralmente opostos, e uma estrela de massa M localizada no centro dessa órbita por simetria. As duas pequenas orbitam no mesmo sentido. A tarefa é obter uma expressão para o período das estrelas de massa m na hipótese \,m \ll M.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{- massas das pequenas estrelas: } m,\\\ &\text{- massa da estrela central: } M,\\\ &\text{- as pequenas estão em lados opostos a uma mesma distância } r \text{ do centro (ou seja, raio da órbita } r\text{),}\\\ &\text{- orbitam circularmente e no mesmo sentido,}\\\ &\text{- hipótese pedida: } m \ll M. \end{aligned}
O que se pede:
\text{achar o período } T \text{ de cada estrela de massa } m \text{ sob a hipótese } m \ll M.
Passo 2
Entender as forças atuantes e escolher a equação de movimento apropriada.
Acontece o seguinte para uma das massas m (a outra é simétrica): há atração gravitacional da estrela central M para o centro e também atração gravitacional da outra massa m. Como as duas pequenas estão diametralmente opostas, a linha que liga uma pequena à outra passa pelo centro, então a força entre as duas pequenas aponta radialmente para o centro (no sentido de puxar cada uma em direção ao centro). Assim as duas contribuições de força são radiais e somam-se para fornecer a força centrípeta que mantém o movimento circular.
Essa força também aponta radialmente em direção ao centro (do ponto de vista de uma das massas, a outra está do outro lado, portanto a força puxa através do centro).
Passo 4
Somar as forças radiais que fornecem a aceleração centrípeta e escrever a condição de equilíbrio dinâmico.
A força radial total que gera a aceleração centrípeta é soma das duas forças acima:
Interpretação: a velocidade angular depende da soma efetiva de massas M + m/4. O termo m/4 é a contribuição da atração da outra pequena massa.
Passo 6
Expressar o período T em função de r,M,m,G (expressão exata) e depois aplicar a hipótese m \ll M.
Da definição T = \dfrac{2\pi}{\omega} e da expressão para \omega^2 obtemos a expressão exata
T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G\left(M + \dfrac{m}{4}\right)}}.
Agora aplicamos a hipótese \,m \ll M. Nesse caso o termo \dfrac{m}{4} é muito menor que M, então podemos desprezá-lo no denominador como primeira aproximação. Assim, ao primeiro ordem em \dfrac{m}{M},
T \approx 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G M}}.
Se quiser a correção de primeira ordem em \dfrac{m}{M}, podemos usar a expansão binomial: