Uma bola de vidro com densidade
e raio
está encostada no fundo de um recipiente contendo fluido com densidade
. Encontre uma expressão para a normal sobre a bola de vidro em termos dos dados do problema.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma expressão para a normal
exercida sobre uma bola de vidro que está encostada no fundo de um recipiente com fluido. Dados fornecidos: a densidade da bola é
, o raio da bola é
e a densidade do fluido é
. Estamos assumindo a existência da aceleração da gravidade
(constante) para calcular pesos. A bola está em repouso apoiada no fundo.
Passo 2
Vamos listar as forças verticais que atuam na bola (diagrama de corpo livre mental):
- peso da bola,
, apontando para baixo; - força de empuxo (buoyancy) do fluido sobre a bola,
, apontando para cima; - força normal do fundo sobre a bola,
, apontando para cima.
Como a bola está em equilíbrio estático, a soma vetorial das forças verticais é zero.
Passo 3
Precisamos do volume da bola para calcular massa e empuxo. O volume
de uma esfera de raio
é dado por
Explicação rápida: essa é a fórmula padrão para o volume de uma esfera — você pode memorizar ou derivar por integração, mas para a prova memorize
.
Passo 4
A massa
da bola é densidade vezes volume:
O peso
(força gravitacional) é massa vezes
:
Aqui
é a aceleração da gravidade (aprox.
, mas deixe em símbolo
para a expressão geral).
Passo 5
O empuxo
é dado pelo Princípio de Arquimedes: é igual ao peso do fluido deslocado pela porção da bola submersa. Se a bola está totalmente submersa (caso comum neste enunciado implícito), o volume deslocado é
, então
Comentário didático: Arquimedes diz que o fluido empurra para cima com uma força igual ao peso do fluido que ocupava o lugar do corpo submerso.
Passo 6
Agora escrevemos o equilíbrio de forças na direção vertical (tomando cima como positivo):
Isolando
,
Explicação: a normal compensa a diferença entre o peso para baixo e o empuxo para cima, porque a bola não acelera.
Passo 7
Substituímos as expressões de
e
usando
:
Agora substituímos
:
Interpretação física: se
então
e a bola pressiona o fundo; se
então
(a bola fica neutra, sem pressão no fundo); se
o valor seria negativo — isso significaria que, na prática, a bola não conseguiria permanecer encostada (flutuaria), então o enunciado implicaria
para que esteja em contato com o fundo.
Passo 8
Resumo prático para a prova: calcule volume da esfera, calcule peso
, calcule empuxo
, e use
. É um processo curto e repetível — decore a sequência e aplique direto.