Uma bola de vidro com densidade \rho_{v} e raio R está encostada no fundo de um recipiente contendo fluido com densidade \rho_{f}. Encontre uma expressão para a normal sobre a bola de vidro em termos dos dados do problema.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma expressão para a normal N exercida sobre uma bola de vidro que está encostada no fundo de um recipiente com fluido. Dados fornecidos: a densidade da bola é \rho_{v}, o raio da bola é R e a densidade do fluido é \rho_{f}. Estamos assumindo a existência da aceleração da gravidade g (constante) para calcular pesos. A bola está em repouso apoiada no fundo.

Passo 2

Vamos listar as forças verticais que atuam na bola (diagrama de corpo livre mental):
  • peso da bola, W, apontando para baixo;
  • força de empuxo (buoyancy) do fluido sobre a bola, F_{b}, apontando para cima;
  • força normal do fundo sobre a bola, N, apontando para cima.
    Como a bola está em equilíbrio estático, a soma vetorial das forças verticais é zero.

Passo 3

Precisamos do volume da bola para calcular massa e empuxo. O volume V de uma esfera de raio R é dado por
V=\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Explicação rápida: essa é a fórmula padrão para o volume de uma esfera — você pode memorizar ou derivar por integração, mas para a prova memorize V=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 4

A massa m da bola é densidade vezes volume:
m=\rho_{v}V.
O peso W (força gravitacional) é massa vezes g:
W=m g=\rho_{v}V g.
Aqui g é a aceleração da gravidade (aprox. 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}, mas deixe em símbolo g para a expressão geral).

Passo 5

O empuxo F_{b} é dado pelo Princípio de Arquimedes: é igual ao peso do fluido deslocado pela porção da bola submersa. Se a bola está totalmente submersa (caso comum neste enunciado implícito), o volume deslocado é V, então
F_{b}=\rho_{f}V g.
Comentário didático: Arquimedes diz que o fluido empurra para cima com uma força igual ao peso do fluido que ocupava o lugar do corpo submerso.

Passo 6

Agora escrevemos o equilíbrio de forças na direção vertical (tomando cima como positivo):
N+F_{b}-W=0.
Isolando N,
N=W-F_{b}.
Explicação: a normal compensa a diferença entre o peso para baixo e o empuxo para cima, porque a bola não acelera.

Passo 7

Substituímos as expressões de W e F_{b} usando V:
N=\rho_{v}V g - \rho_{f}V g=(\rho_{v}-\rho_{f})V g.
Agora substituímos V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}:
N=(\rho_{v}-\rho_{f})\frac{4}{3}\pi R^{3}g.
Interpretação física: se \rho_{v}>\rho_{f} então N>0 e a bola pressiona o fundo; se \rho_{v}=\rho_{f} então N=0 (a bola fica neutra, sem pressão no fundo); se \rho_{v}<\rho_{f} o valor seria negativo — isso significaria que, na prática, a bola não conseguiria permanecer encostada (flutuaria), então o enunciado implicaria \rho_{v}\ge\rho_{f} para que esteja em contato com o fundo.

Passo 8

Resumo prático para a prova: calcule volume da esfera, calcule peso \rho_{v}Vg, calcule empuxo \rho_{f}Vg, e use N=W-F_{b}. É um processo curto e repetível — decore a sequência e aplique direto.

Resposta

N=(\rho_{v}-\rho_{f})\frac{4}{3}\pi R^{3}g

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