Um sistema de três estrelas consiste de duas estrelas de massa m orbitando em uma mesma órbita uma estrela de massa M. As estrelas de massa m estão sempre em lados diametralmente opostos e orbitam sempre no mesmo sentido. Obtenha uma expressão para o período das estrelas de massa m nas seguintes hipóteses:
m \approx M.

Passo 1

O enunciado pede uma expressão para o período das estrelas de massa m no sistema descrito, sob a hipótese m \approx M. Informações dadas e suposições explícitas que vamos usar:
  • Existem duas estrelas de massa m que movem-se em uma mesma órbita circular de raio r ao redor da estrela de massa M.
  • As duas estrelas de massa m estão sempre diametralmente opostas (se uma está em ângulo 0, a outra está em \pi) e orbitam no mesmo sentido.
  • Devemos obter o período do movimento das estrelas m considerando a hipótese m\approx M.
  • Vou denotar por r a distância de cada massa m até a massa M (ou seja, o raio da órbita circular), por G a constante gravitacional, por v a velocidade tangencial de cada m, por \omega a velocidade angular e por T o período buscado.

Passo 2

Configuração e simetria: como as duas massas m são iguais e estão em posições diametralmente opostas, as forças que cada uma exerce sobre M se cancelam exatamente. Portanto é consistente tomar M fixo no centro do círculo de raio r (o centro do sistema de massa total fica em M). Cada massa m descreve um movimento circular de raio r em torno de M.

Passo 3

Lei da gravitação universal: a força de atração entre duas massas m_1 e m_2 separadas por distância d é
F = G\frac{m_1 m_2}{d^2},
onde G é a constante gravitacional. Aqui, a força atraindo uma das massas m para a massa central M tem magnitude
F_{M\to m} = G\frac{M m}{r^2}.
Expliquei: M e m são as massas, r é a distância entre elas; a força aponta radialmente para o centro.

Passo 4

Força entre as duas massas m: a distância entre as duas massas m é 2r (são opostas no círculo). Portanto a força de atração entre elas tem magnitude
F_{m\to m} = G\frac{m\cdot m}{(2r)^2} = G\frac{m^2}{4r^2}.
Observação sobre direção: essa força age ao longo da linha que une as duas massas, que passa pelo centro; para a massa que está em +r ela aponta para a esquerda, ou seja, em direção ao centro — portanto sua componente radial é totalmente voltada para o centro e contribui para a força centrípeta.

Passo 5

Força radial total (centrípeta necessária) sobre uma das massas m: somando as duas contribuições (ambas dirigidas radialmente para o centro),
F_{\text{radial}} = F_{M\to m} + F_{m\to m} = G\frac{M m}{r^2} + G\frac{m^2}{4r^2}.
Expliquei: somamos porque ambas puxam a massa m em direção ao centro do círculo.

Passo 6

Condição de movimento circular (força centrípeta): para uma partícula de massa m que se desloca com velocidade tangencial v em raio r, a força centrípeta necessária é
F_{\text{centrípeta}} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2 r,í
onde \omega é a velocidade angular ( \omega = v/r). Essa força centrípeta deve ser fornecida pelas forças gravitacionais do passo anterior.

Passo 7

Igualando força centrípeta à força radial disponível e simplificando:
m\omega^2 r = G\frac{M m}{r^2} + G\frac{m^2}{4r^2}.
Cancelamos um fator m (assumindo m\neq 0) e isolamos \omega^2:
\omega^2 = G\frac{M + \dfrac{m}{4}}{r^3}.
Expliquei: a combinação M + m/4 mostra que, além da atração do corpo central M, há a contribuição da outra massa m que aumenta a força efetiva que fornece a centripeta.

Passo 8

Relação entre período T e \omega: \omega = \dfrac{2\pi}{T}. Assim,
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\!\left(M+\dfrac{m}{4}\right)}}.
Essa é a expressão exata (dentro das hipóteses geométricas e de orbita circular) para o período das massas m.

Passo 9

Aplicando a hipótese m \approx M: uma maneira prática de usar essa hipótese é aproximar m por M para obter uma expressão numérica simples. Substituindo m=M obtemos
T \approx 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\!\left(M+\dfrac{M}{4}\right)}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{\dfrac{5}{4}GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{4\,r^3}{5\,G M}}.
Interpretação rápida: se m é igual a M, o período diminui em relação ao caso de uma massa teste porque a atração adicional da outra massa m aumenta a força centrípeta efetiva (aparece o fator 5/4 no denominador dentro da raiz).

Resposta

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\!\left(M+\dfrac{m}{4}\right)}}
\text{Para }m\approx M:\quad T \approx 2\pi\sqrt{\frac{4\,r^3}{5\,G M}}

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