Um sistema trifásico ABC a quatro condutores apresenta \mathrm{V}_{\mathrm{BC}}=380 \measuredangle 0^{\circ} \mathrm{V} e alimenta uma carga desequilibrada com \mathbf{Z}_{\mathbf{A}}=9 \measuredangle 30^{\circ} \Omega, \mathbf{Z}_{\mathbf{B}}=7 \measuredangle 0^{\circ} \Omega e \mathbf{Z}_{\mathbf{C}}=5 \measuredangle-40^{\circ} \Omega. Determine a corrente eficaz no condutor neutro.
Alternativas:
(A) I_{N} \leq 15,00 \mathrm{~A}
(B) 20,01 \mathrm{~A} \leq I_{N} \leq 30,00 \mathrm{~A}
(C) 40,01 \mathrm{~A} \leq I_{N} \leq 50,00 \mathrm{~A}
(D) \quad 60,01 \mathrm{~A} \leq I_{N} \leq 70,00 \mathrm{~A}
(E) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado pede a corrente eficaz no condutor neutro de um sistema trifásico ABC a quatro condutores que alimenta uma carga desequilibrada. Dados fornecidos:
  • tensão linha a linha \mathrm{V}_{\mathrm{BC}} = 380 \measuredangle 0^\circ\\ \mathrm{V};
  • impedâncias das fases (tomadas na ordem A, B, C):
    • \mathbf{Z}_{\mathbf{A}} = 9 \measuredangle 30^\circ\\ \Omega,
    • \mathbf{Z}_{\mathbf{B}} = 7 \measuredangle 0^\circ\\ \Omega,
    • \mathbf{Z}_{\mathbf{C}} = 5 \measuredangle -40^\circ\\ \Omega.
      O que se pede: encontrar a magnitude da corrente no condutor neutro I_N (corrente eficaz), e comparar com as alternativas fornecidas.

Passo 2

Estratégia geral (explicação didática, passo a passo): para achar a corrente do neutro num sistema trifásico desequilibrado com neutro disponível, calcula-se as correntes de fase \;I_A,I_B,I_C\;\) a partir das tensões de fase (fase para neutro) e das impedâncias de cada fase, e depois soma-se vetorialmente essas correntes; a corrente no neutro é a soma fasorial das correntes de fase: \[I_N = I_A + I_B + I_C.
Explicação sobre conversão de \mathrm{V}_{\mathrm{BC}} (linha a linha) para tensões de fase (linha para neutro): em um sistema simétrico de tensões de linha, a relação de magnitude é
V_{\text{fase}}=\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}.
Também é preciso determinar os ângulos das tensões de fase coerentes com a referência dada \mathrm{V}_{\mathrm{BC}}=380\measuredangle 0^\circ. Usando a sequência de fase convencional A\!-\!B\!-\!C, as tensões fase se diferenciam por 120^\circ; testando a escolha padrão (por exemplo \,V_{BN}=\!V_{\text{fase}}\measuredangle -120^\circ,\;V_{CN}=V_{\text{fase}}\measuredangle 120^\circ) observa-se que isso daria \,V_{BC}= \sqrt{3}V_{\text{fase}}\measuredangle -90^\circ. Para que V_{BC} fique com ângulo 0^\circ (como no enunciado), basta deslocar todas as fases em +90^\circ. Assim obtemos as tensões de fase (tomando V_{\text{fase}}=V_{ph}):
V_{ph}=\frac{380}{\sqrt{3}}\\ \text{V}\quad\text{e}\quad \begin{cases} V_{AN}=V_{ph}\measuredangle 90^\circ,\\[6pt] V_{BN}=V_{ph}\measuredangle -30^\circ,\\[6pt] V_{CN}=V_{ph}\measuredangle -150^\circ. \end{cases}
Agora calculamos numericamente (V_{ph}]:
V_{ph}=\dfrac{380}{\sqrt{3}}\approx 219,39\\ \mathrm{V}.]

Passo 3

Aplicar a lei de Ohm fasorial em cada fase para obter as correntes de fase. Fórmula e interpretação:
I_k=\dfrac{V_{kN}}{Z_k},
onde k=A,B,C; isto significa: dividir a magnitude da tensão pela magnitude da impedância e subtrair os ângulos (ângulo da tensão menos ângulo da impedância).
Calculemos cada corrente:
I_A=\dfrac{V_{AN}}{Z_A}=\dfrac{219,39\measuredangle 90^\circ}{9\measuredangle 30^\circ} =24,3767\measuredangle(90^\circ-30^\circ)=24,3767\measuredangle 60^\circ.
I_B=\dfrac{V_{BN}}{Z_B}=\dfrac{219,39\measuredangle -30^\circ}{7\measuredangle 0^\circ} =31,3414\measuredangle -30^\circ.
I_C=\dfrac{V_{CN}}{Z_C}=\dfrac{219,39\measuredangle -150^\circ}{5\measuredangle -40^\circ} =43,8780\measuredangle(-150^\circ-(-40^\circ))=43,8780\measuredangle -110^\circ.
(Em cada divisão: magnitude =219,39/\text{mag}(Z); ângulo = ângulo da tensão - ângulo da impedância.)

Passo 4

Para somar fasores é mais prático usar coordenadas retangulares (parte real e imaginária). Vamos decompor cada corrente usando seno e cosseno.
Para I_A=24,3767\measuredangle 60^\circ:
\Re(I_A)=24,3767\cos 60^\circ=24,3767\cdot 0,5=12,1884,
\Im(I_A)=24,3767\sin 60^\circ=24,3767\cdot 0,8660254\approx 21,1050.
Para I_B=31,3414\measuredangle -30^\circ:
\Re(I_B)=31,3414\cos(-30^\circ)=31,3414\cdot 0,8660254\approx 27,1410,
\Im(I_B)=31,3414\sin(-30^\circ)=31,3414\cdot(-0,5)\approx -15,6707.
Para I_C=43,8780\measuredangle -110^\circ:
\cos(-110^\circ)=\cos 110^\circ\approx -0,3420201,\qquad \sin(-110^\circ)\approx -0,9396926,
\Re(I_C)=43,8780\cdot(-0,3420201)\approx -15,0000,
\Im(I_C)=43,8780\cdot(-0,9396926)\approx -41,2350.

Passo 5

Somar as componentes reais e imaginárias para obter I_N:
\Re(I_N)=\Re(I_A)+\Re(I_B)+\Re(I_C)\approx 12,1884+27,1410-15,0000=24,3294,
\Im(I_N)=\Im(I_A)+\Im(I_B)+\Im(I_C)\approx 21,1050-15,6707-41,2350=-35,8007.
Logo o fasor do neutro é aproximadamente
I_N \approx 24,3294 - j\,35,8007.
A magnitude (corrente eficaz procurada) é
|I_N|=\sqrt{(24,3294)^2 + (-35,8007)^2}\approx \sqrt{591,92 + 1\,281,67}\approx \sqrt{1\,873,59}\approx 43,29\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Interpretação final em relação às alternativas: 43,29\\ \mathrm{A} pertence ao intervalo 40,01\\ \mathrm{A}\le I_N\le 50,00\\ \mathrm{A}, que é a alternativa (C). Força aí — deu certo!

Resposta

C) I_{N}\approx 43,29\\ \mathrm{A}

Exercícios relacionados