A iluminação e os motores de uma pequena fábrica, alimentada em 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, estabelecem uma demanda de potência igual a ( 60 ) kW com um FP atrasado de 0,85 . Determine o valor do capacitor que deve ser colocado em paralelo com a carga para elevar o FP para 1. Alternativas:
(A) 0,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 100,000 \mu \mathrm{~F}
(B) 100,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 200,000 \mu \mathrm{~F}
(C) 200,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 300,000 \mu \mathrm{~F}
(D) 300,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 400,000 \mu \mathrm{~F}
(E) C \geq 400,001 \mu \mathrm{~F}

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Tensão de alimentação: 220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Potência ativa demandada pela fábrica: P=60\\ \mathrm{kW}.
  • Fator de potência atual (atrasado): \mathrm{PF}_1=0{,}85.
    O que se pede: determinar o valor do capacitor a ser ligado em paralelo com a carga para elevar o fator de potência para 1 (ou seja, correção completa), e escolher a alternativa que contém essa capacitância.

Passo 2

Entendendo a geometria das potências (triângulo de potências). Definições úteis:
  • Potência aparente: S (em VA), com \displaystyle S=\frac{P}{\mathrm{PF}}.
  • Potência reativa da carga indutiva (inicial): Q (em VAR), com \displaystyle Q=S\sin\varphi ou \displaystyle Q=P\tan\varphi, onde \varphi é o ângulo de fase tal que \cos\varphi=\mathrm{PF}.
    Vou primeiro calcular S usando \mathrm{PF}_1=0{,}85.

Passo 3

Cálculo da potência aparente inicial:
S=\frac{P}{\mathrm{PF}_1}=\frac{60\\ \mathrm{kW}}{0{,}85}= \frac{60{,}000\\ \mathrm{W}}{0{,}85}=70{,}588{,}235\\ \mathrm{VA}\approx70{,}588\\ \mathrm{VA}.
(Para manter unidades claras, 60\\ \mathrm{kW}=60{,}000\\ \mathrm{W}.)

Passo 4

Cálculo da potência reativa inicial Q. Primeiro obtenho \tan\varphi a partir de \mathrm{PF}_1. Como \cos\varphi=\mathrm{PF}_1,
\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-\mathrm{PF}_1^2}=\sqrt{1-0{,}85^2}=\sqrt{0{,}2775}=0{,}52678\ldots
Logo
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\frac{0{,}52678\ldots}{0{,}85}=0{,}619739\ldots
Agora uso \displaystyle Q=P\tan\varphi:
Q=60{,}000\\ \mathrm{W}\times0{,}619739\ldots=37{,}184{,}352\\ \mathrm{VAR}\approx37{,}184\\ \mathrm{VAR}.
Interpretação: a carga absorve cerca de 37{,}184\\ \mathrm{VAr} de reativo (indutivo).

Passo 5

Quanto de reativo o capacitor deve fornecer? Para corrigir o PF para 1 (fator de potência unitário) precisamos anular a componente reativa total. Como o capacitor fornece reativo capacitivo de sinal oposto, a magnitude necessária é exatamente
Q_C = Q \approx 37{,}184\\ \mathrm{VAR}.
(O sinal não importa aqui; tomamos o valor absoluto da potência reativa que o capacitor deve fornecer.)

Passo 6

Relação entre potência reativa de um capacitor e sua capacitância. Para um capacitor ligado a uma tensão senoidal eficaz V e frequência f, a potência reativa fornecida pelo capacitor é
Q_C = V^2 \omega C,
onde \omega=2\pi f (em rad/s) e C em farads. Explicando as variáveis:
  • Q_C é a potência reativa em VAR que o capacitor fornece (valor positivo aqui é a magnitude).
  • V é a tensão eficaz (em volts).
  • \omega é a pulsação angular, \omega=2\pi f.
  • C é a capacitância em farads.
    Isolando C:
C=\frac{Q_C}{V^2\omega}.

Passo 7

Substituindo os números. Primeiro calculo \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot60=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx377{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
Calculo V^2\omega:
V^2\omega=(220)^2\cdot(120\pi)=48{,}400\cdot(120\pi)=48{,}400\cdot377{,}0\approx18{,}246{,}800\\ (\text{unidade: }\mathrm{V}^2\!\cdot\!\mathrm{rad/s}).
Agora C:
C=\frac{Q_C}{V^2\omega}=\frac{37{,}184{,}352}{18{,}246{,}800}\\ \mathrm{F}\approx0{,}002037\\ \mathrm{F}.
Convertendo para microfarads ( 1\\ \mathrm{F}=10^{6}\\ \mu\mathrm{F}):
C\approx0{,}002037\\ \mathrm{F}=2037\\ \mu\mathrm{F}\\ (\text{aprox.}).

Passo 8

Interpretação prática e escolha da alternativa. O valor obtido é C\approx2037\\ \mu\mathrm{F}. Agora comparo com as faixas das alternativas:
  • (A) 0{,}001\\ \mu\mathrm{F}\le C\le100{,}000\\ \mu\mathrm{F} — contém 2037\\ \mu\mathrm{F}.
  • As demais alternativas começam em valores maiores que 100{,}000\\ \mu\mathrm{F}, logo não contêm 2037\\ \mu\mathrm{F}.
    Portanto a alternativa correta é a (A).

Resposta

(A)

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