El disco tiene una velocidad angular constante de 600 rpm en el sentido anti horario. Sabiendo que la barra BD es de 10 in de longitud, determine la aceleración del collarín
cuando
Passo 1
Voy a dejar muy claro qué pide el enunciado y qué datos me das. (Copié exactamente los datos que hay en tu enunciado.)
- Datos que da el enunciado:
- La rueda/disco tiene una velocidad angular constante
en sentido antihorario. - La barra
tiene longitud . - Se pide la aceleración del collarín
cuando .
- La rueda/disco tiene una velocidad angular constante
- Pregunta concreta que hay que responder:
- Determinar la aceleración (vector o su magnitud/componentes, según lo pida la figura) del collarín
en el instante en que .
- Determinar la aceleración (vector o su magnitud/componentes, según lo pida la figura) del collarín
Passo 2
Necesito decir con total transparencia lo que falta para poder resolver numéricamente: con la redacción dada no hay suficiente información geométrica. Faltan datos esenciales o la figura que muestre la configuración. Específicamente, hace falta saber, al menos, una de las siguientes cosas (una figura daría esto de forma clara):
- La posición de
respecto al centro del disco (por ejemplo: ¿ está en el borde del disco? si sí, ¿cuál es el radio ?). - La definición precisa de
(¿es el ángulo que hace la barra con una referencia fija? ¿es el ángulo del radio que une el centro del disco con ?). - Cómo está conectado el sistema: ¿
es un pasador en el borde del disco y la barra está articulada en ? ¿ es un collar que desliza sobre una guía recta o sobre la propia dirección de la barra? (Hay varias configuraciones posibles y cada una conduce a fórmulas distintas.) - Si hay restricciones adicionales: por ejemplo, si el collar
desliza a lo largo de una dirección fija (vertical, horizontal o inclinada) o si es una barra rígida articulada entre y un collar que se desliza en una ranura cuyo eje tiene dirección conocida.
Sin al menos la figura o alguno de esos datos numéricos/geométricos no se puede obtener un valor numérico para la aceleración de
.
Passo 3
Para que aprendas cómo se resolvería el problema en la prueba cuando sí tenga la figura, te explico paso a paso el método general que se usaría (aquí explico la teoría y las fórmulas que vas a necesitar; cuando me des la figura aplico esto numéricamente). Mantengo todo detallado y despacito.
- Conversión de unidades de
. Primero convierte de rpm a rad/s:
Como te dicen que la velocidad angular es constante, la aceleración angular del disco es
- Cinemática de un punto en el disco (punto
). Si conoces el vector posición de desde el centro del disco, , la velocidad y aceleración de debidas a la rotación rígida del disco vienen dadas por:
Aquí
es el vector angular (dirección perpendicular al plano, sentido según problema) y
es su derivada. En nuestro caso
, luego
Esto te da la aceleración de
en coordenadas, siempre que tengas
(es decir, la distancia y la orientación de
respecto al centro).
- Cinemática relativa de la barra rígida
. La barra es un cuerpo rígido de longitud conocida. Si la barra gira respecto a con velocidad angular y aceleración angular , la aceleración del extremo se escribe en vectores como
donde
es el vector desde
hasta
. En el plano, si la barra tiene orientación
, se puede expresar
con
.
- Cómo encontrar
y . Esos dos (velocidad y aceleración angular de la barra) se obtienen imponiendo las condiciones de compatibilidad/velocidad entre y , que vienen de la geometría de la guía del collar:
- Si
desliza sobre una guía con dirección conocida (por ejemplo, sobre una línea fija), entonces la componente de perpendicular a la guía debe ser cero; eso te da una ecuación para . - Similarmente, la componente de
perpendicular a la guía debe ser cero y eso te da una ecuación para (o para la aceleración escalar a lo largo de la guía). - Si en vez
estuviera libre pero la barra articulada en ambos extremos, se tendría otro conjunto de ecuaciones (condiciones geométricas), etc.
En la práctica en una hoja de examen harías:
- Escribir
(con expresada en coordenadas). - Escribir
. - Imponer la restricción geométrica (por ejemplo, dirección de deslizado) para hallar
. - Luego derivar o usar la ecuación de aceleraciones para hallar
.
Passo 4
Ejemplo simbólico (plantilla de cálculo paso a paso, sin números porque faltan datos geométricos). Supongamos que conoces
y que la barra forma
con el eje
y
. Entonces:
-
. -
si tomas saliendo del plano. - La componente perpendicular a la guía (si la guía es una línea con vector unitario
) de debe ser cero. Esto te da una ecuación lineal en . - Resuelves
. Después calculas . Para usas la ecuación de la componente perpendicular de (o la derivada temporal de la ecuación de velocidades) y la resuelves.
Si quieres, en la prueba esto se resuelve con álgebra básica y trigonometría — no hace falta calculadora para pasos intermedios si la figura y las magnitudes son razonables.
Passo 5
Resumen de qué valores concretos deberías suministrarme (o que aparecerían en la figura) para que yo pueda darte el valor numérico exacto de la aceleración de
:
- La posición de
relativa al centro del disco: por ejemplo el radio y el ángulo del radio en el instante dado (o las coordenadas del punto ). Esto es necesario para calcular , y . - La definición exacta de
(si es la orientación de la barra respecto a una referencia fija, ya está; si es otra cosa, aclararlo). - La restricción de movimiento del collar
: ¿desliza sobre una guía recta? ¿cuál es la dirección de la guía? ¿o está libre en el extremo de la barra? - Si la conexión entre disco y barra tiene algún desplazamiento fijo adicional (por ejemplo, si B no está exactamente en el perímetro, o si hay un elemento intermedio).
Con esos datos aplico las fórmulas del Paso 3 y te doy la aceleración de
con todos los pasos numéricos detallados.
Passo 6
Ánimo: lo que falta es la figura o esos pocos datos geométricos. Cuando los tengas (o si pegás la imagen del enunciado), hago la solución completa paso a paso, con todas las cuentas desarrolladas y el resultado numérico. No te preocupes, lo resolvemos rato a rato y te lo explico como si estuviéramos en la misma pizarra.
Resposta
No es posible determinar numéricamente la aceleración del collarín
con la información proporcionada: falta la figura o los datos geométricos necesarios (posición de
respecto al centro del disco y la restricción de movimiento del collar
).