Para os sistemas abaixo, obtenha uma solução utilizando métodos gráficos, se possível. Explique os resultados do ponto de vista geométrico.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{2}=3 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para obter uma solução do sistema e explicar o resultado geometricamente. As informações dadas são as duas equações lineares:
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}=3,\\[4pt] 2x_{1}+4x_{2}=6. \end{cases}
Queremos usar métodos gráficos, se possível, e interpretar o que ocorre no plano.]

Passo 2

Como fazemos graficamente? Cada equação linear em duas variáveis representa uma reta no plano (x_{1},x_{2}). Para desenhar uma reta é suficiente obter dois pontos que a pertençam ou escrever a reta na forma declive‑intercepto (forma explícita) \,x_{2}=mx+b, onde m é a inclinação (slope) e b é a interseção com o eixo x_{2} (ordenada quando x_{1}=0). Vou explicar isso passo a passo porque é a ferramenta principal para o método gráfico.

Passo 3

Transformo a primeira equação para a forma explícita. Começo isolando x_{2}:
x_{1}+2x_{2}=3 \quad\Longrightarrow\quad 2x_{2}=3-x_{1}\quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-\tfrac{1}{2}x_{1}+\tfrac{3}{2}.
Aqui m=-\tfrac{1}{2} é a inclinação: se aumentarmos x_{1} em 2, x_{2} diminui em 1. E b=\tfrac{3}{2} é a interseção com o eixo x_{2} (quando x_{1}=0, x_{2}=\tfrac{3}{2}).
A partir da forma explícita posso obter dois pontos simples para desenhar a reta:
  • Se x_{1}=0, então x_{2}=\tfrac{3}{2}. Ponto \(0,\tfrac{3}{2}).
  • Se x_{2}=0, então x_{1}=3. Ponto \(3,0).
    Verifico também um ponto intermediário: se x_{1}=1 então x_{2}=1 porque 1+2\cdot1=3. Ponto \(1,1).
    Com dois (ou três) pontos já consigo traçar a reta da primeira equação.

Passo 4

Agora analiso a segunda equação. Posso simplificá‑la dividindo ambos os lados por 2:
2x_{1}+4x_{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+2x_{2}=3.
Repare que, após dividir por 2, a segunda equação é exatamente igual à primeira. Isso significa algebraicamente que as duas equações representam a mesma condição.
Geometricamente, como as duas equações são idênticas, ambas representam a mesma reta no plano. No método gráfico isso significa que, ao desenhar as duas “retas”, elas coincidem — não são duas retas distintas que se cruzam em um único ponto, nem são paralelas distintas; são a mesma reta superposta.

Passo 5

Uma outra maneira de ver isso algébrica e geometricamente é aplicar eliminação: subtraio duas vezes a primeira equação da segunda:
(2x_{1}+4x_{2}) - 2(x_{1}+2x_{2}) = 6 - 2\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad 0=0.
A igualdade 0=0 indica que a segunda equação não traz informação nova além da primeira — as equações são dependentes. Em termos de sistemas lineares, isso caracteriza um sistema com infinitas soluções (as soluções são todos os pontos da reta comum).
Para descrever explicitamente todas as soluções podemos parametrizar a reta. Escolho t como parâmetro igual a x_{2}:
x_{2}=t\quad\Rightarrow\quad x_{1}=3-2t.
Então a família de soluções é
(x_{1},x_{2})=(3-2t,\;t),\quad t\in\mathbb{R}.
Verifico com exemplos rápidos: t=0\Rightarrow(3,0), t=1\Rightarrow(1,1), t=\tfrac{3}{2}\Rightarrow(0,\tfrac{3}{2}); todos satisfazem as duas equações.

Passo 6

Resumo geométrico e interpretação intuitiva: cada equação define uma reta. Aqui as duas equações definem exatamente a mesma reta, então a interseção das duas retas é a reta inteira — ou seja, há infinitos pontos em comum. No gráfico, em vez de ver um cruzamento único ou retas paralelas, veríamos uma única reta desenhada duas vezes (coincidente). Isso é o que chamamos de sistema linear dependente, com infinitas soluções.

Resposta

\{(x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{1}+2x_{2}=3\}\n \{(x_{1},x_{2})=(3-2t,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\}

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