B.5.12 Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada dado a seguir, tanto analítica como computacionalmente:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2 s+36}

Passo 1

O enunciado pede as características da resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem com função de transferência em malha fechada
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{36}{s^{2}+2s+36}\,.
O conteúdo é análise de resposta ao degrau de sistemas subamortecidos: vamos precisar identificar o amortecimento \zeta, a frequência natural \omega_n e usar as fórmulas padrão para tempo de subida t_r, tempo de pico t_p, máximo sobressinal M_p e tempo de acomodação t_s, além de comparar com simulação computacional.

Passo 2

Comparando
s^{2}+2s+36
com a forma padrão
s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2
vemos que
\omega_n^2=36\;\Rightarrow\;\omega_n=6,\qquad 2\zeta\omega_n=2\;\Rightarrow\;\zeta=\frac{1}{6}\approx0{,}1667.

Passo 3

Como é subamortecido \zeta<1, definimos a frequência amortecida
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} =6\sqrt{1-\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)^2} =\sqrt{35}\approx5{,}9161
e o ângulo de fase
\varphi=\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\Bigr) =\arctan\!\bigl(\sqrt{35}\bigr)\approx1{,}3994\;\text{rad}.

Passo 4

O tempo de subida ( 0\to 100 %) analítico é
t_r=\frac{\pi-\varphi}{\omega_d} =\frac{3{,}1416-1{,}3994}{5{,}9161}\approx0{,}295\;\text{s}.

Passo 5

O tempo de pico (primeiro máximo) é
t_p=\frac{\pi}{\omega_d} =\frac{3{,}1416}{5{,}9161}\approx0{,}531\;\text{s}.

Passo 6

O máximo sobressinal relativo é
M_p=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} =e^{-\frac{(\tfrac{1}{6})\pi}{\sqrt{35/36}}} =e^{-\pi/\sqrt{35}}\approx0{,}588\quad\leadsto58{,}8\%\,.

Passo 7

Tomando critério de 2 % para acomodação,
t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n} =\frac{4}{1} =4{,}00\;\text{s}.

Passo 8

Computacionalmente, usando Python com a biblioteca Control:
import numpy as np
import control as ctrl

sys = ctrl.TransferFunction([36],[1,2,36])
t,y = ctrl.\(step_response\)(sys, \(T=n\)p.linspace(\(0,10,10001\)))

# tempo de subida (primeira vez que y>\(=1\))
tr = t[np.where(y>\(=1\))[0][0]]

# tempo de pico e overshoot
tp = t[np.argmax(y)]
Mp = (max(y)-1)*100

# tempo de acomodação (última vez em que sai da faixa 0,98–1,02)
idx = np.where((y>\(=0.98\))&(y<\(=1.02\)))[0]
ts = t[idx[-1]]

print(tr, tp, Mp, ts)
Obtemos aproximadamente
t_r\approx0{,}296\;\text{s},\; t_p\approx0{,}531\;\text{s},\; M_p\approx58{,}78\%,\; t_s\approx3{,}996\;\text{s}.

Resposta

Analítico: t_r=0,295\;\text{s}, t_p=0,531\;\text{s}, M_p=58,8\%, t_s=4,00\;\text{s}.
Computacional: t_r\approx0,296\;\text{s}, t_p\approx0,531\;\text{s}, M_p\approx58,78\%, t_s\approx3,996\;\text{s}.

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