B.5.12 Obtenha o tempo de subida, o tempo de pico, o máximo sobressinal e o tempo de acomodação, na resposta ao degrau unitário, do sistema de malha fechada dado a seguir, tanto analítica como computacionalmente:
Passo 1
O enunciado pede as características da resposta ao degrau unitário de um sistema de segunda ordem com função de transferência em malha fechada
O conteúdo é análise de resposta ao degrau de sistemas subamortecidos: vamos precisar identificar o amortecimento
, a frequência natural
e usar as fórmulas padrão para tempo de subida
, tempo de pico
, máximo sobressinal
e tempo de acomodação
, além de comparar com simulação computacional.
Passo 2
Comparando
com a forma padrão
vemos que
Passo 3
Como é subamortecido
, definimos a frequência amortecida
e o ângulo de fase
Passo 4
O tempo de subida (
%) analítico é
Passo 5
O tempo de pico (primeiro máximo) é
Passo 6
O máximo sobressinal relativo é
Passo 7
Tomando critério de 2 % para acomodação,
Passo 8
Computacionalmente, usando Python com a biblioteca Control:
import numpy as np
import control as ctrl
sys = ctrl.TransferFunction([36],[1,2,36])
t,y = ctrl.\(step_response\)(sys, \(T=n\)p.linspace(\(0,10,10001\)))
# tempo de subida (primeira vez que y>\(=1\))
tr = t[np.where(y>\(=1\))[0][0]]
# tempo de pico e overshoot
tp = t[np.argmax(y)]
Mp = (max(y)-1)*100
# tempo de acomodação (última vez em que sai da faixa 0,98–1,02)
idx = np.where((y>\(=0.98\))&(y<\(=1.02\)))[0]
ts = t[idx[-1]]
print(tr, tp, Mp, ts)
Obtemos aproximadamente
Resposta
Analítico:
Computacional: