B.5.11 Utilizando o MATLAB, obtenha a resposta ao degrau unitário, à rampa unitária e ao impulso unitário do seguinte sistema:
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{cc} -1 & -0,5 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 0,5 \\\\ 0 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right] \end{aligned}
onde u é a entrada e y, a saída.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema em espaço de estados
\dot x = A\,x + B\,u,\quad y = C\,x
com
A = \begin{pmatrix}-1 & -0,5 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0,5 \\[3pt]0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\quad D=0,
e pede as respostas a três entradas: impulso unitário u(t)=\delta(t), degrau unitário u(t)=1 e rampa unitária u(t)=t. Para resolver, vamos (i) obter a função de transferência G(s), (ii) inverter a transformada de Laplace para cada tipo de entrada.]

Passo 2

A função de transferência é
G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B + D.
Como
sI - A = \begin{pmatrix}s+1 & 0,5 \\[3pt] -1 & s\end{pmatrix},
seu determinante é
\det(sI - A) = (s+1)\,s - (0,5)(-1) = s^2 + s + 0,5.
O adjunto de sI-A é
\mathrm{adj}(sI-A) = \begin{pmatrix}s & -0,5 \\[3pt] 1 & s+1\end{pmatrix},
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(sI - A)^{-1}B = \frac{1}{s^2 + s + 0,5} \begin{pmatrix}s & -0,5 \\[3pt] 1 & s+1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0,5 \\[3pt]0\end{pmatrix} = \frac{1}{s^2 + s + 0,5} \begin{pmatrix}0,5\,s \\[3pt] -0,5\end{pmatrix}.
Multiplicando por C e somando D=0, vem
G(s) = \frac{0,5\,s}{s^2 + s + 0,5}.]

Passo 3

Resposta ao impulso unitário é a transformada inversa de
H(s)\;=\;G(s)=\frac{0,5\,s}{s^2 + s + 0,5}.
Note que
s^2 + s + 0,5 = (s + 0,5)^2 + (0,5)^2.
Escrevendo 0,5\,s = 0,5\bigl((s+0,5)-0,5\bigr) e invertendo a Laplace, obtém-se
h(t) = 0,5\,e^{-0,5t}\cos(0,5t)\;-\;0,5\,e^{-0,5t}\sin(0,5t).

Passo 4

Resposta ao degrau unitário é
Y_{\rm step}(s) = \frac{G(s)}{s} = \frac{0,5}{s^2 + s + 0,5} = \frac{0,5}{(s+0,5)^2 + (0,5)^2}.
Como \displaystyle\frac{0,5}{(s+0,5)^2+(0,5)^2} é o transformado de \,e^{-0,5t}\sin(0,5t), temos
y_{\rm step}(t) = e^{-0,5t}\,\sin(0,5t).

Passo 5

Resposta à rampa unitária satisfaz
Y_{\rm ramp}(s) = \frac{G(s)}{s^2} = \frac{0,5\,s}{s^2\,(s^2+s+0,5)}.
Fazendo frações parciais
\frac{0,5\,s}{s^2(s^2+s+0,5)} = \frac{1}{s}\;-\;\frac{s+1}{s^2+s+0,5},
e lembrando que \displaystyle \mathcal L^{-1}\!\{\tfrac{s+1}{(s+0,5)^2+(0,5)^2}\} = e^{-0,5t}\bigl[\cos(0,5t)+\sin(0,5t)\bigr], concluímos
y_{\rm ramp}(t) = 1 \;-\; e^{-0,5t}\bigl[\cos(0,5t)+\sin(0,5t)\bigr].

Resposta

Impulso unitário:
y_{\delta}(t) = 0,5\,e^{-0,5t}\bigl[\cos(0,5t) - \sin(0,5t)\bigr].
Degrau unitário:
y_{\rm step}(t) = e^{-0,5t}\,\sin(0,5t).
Rampa unitária:
y_{\rm ramp}(t) = 1 - e^{-0,5t}\bigl[\cos(0,5t) + \sin(0,5t)\bigr].

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