O enunciado nos dá um sistema em espaço de estados
\dot x = A\,x + B\,u,\quad y = C\,x
com
A = \begin{pmatrix}-1 & -0,5 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0,5 \\[3pt]0\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\quad D=0,
e pede as respostas a três entradas: impulso unitário u(t)=\delta(t), degrau unitário u(t)=1 e rampa unitária u(t)=t. Para resolver, vamos (i) obter a função de transferência G(s), (ii) inverter a transformada de Laplace para cada tipo de entrada.]
Passo 2
A função de transferência é
G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B + D.
Como
sI - A = \begin{pmatrix}s+1 & 0,5 \\[3pt] -1 & s\end{pmatrix},
seu determinante é
\det(sI - A) = (s+1)\,s - (0,5)(-1) = s^2 + s + 0,5.