Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(d) y[n]+y[n-1]-2 y[n-2]=x[n]+2 x[n-1]

Passo 1

O enunciado dá a equação de diferença
y[n]+y[n-1]-2y[n-2]=x[n]+2x[n-1]
e pede para determinar se o sistema associado é estável, instável ou marginalmente estável. As informações relevantes são: a equação linear com coeficientes constantes relacionando entrada x[n] e saída y[n]. A pergunta é: qual a classificação de estabilidade do sistema descrito por essa equação?

Passo 2

Vamos primeiro obter a equação homogênea (zero entrada) porque as raízes dessa equação determinam os modos naturais do sistema, que são cruciais para a estabilidade. A equação homogênea é obtida fazendo x[n]=0, ficando
y[n]+y[n-1]-2y[n-2]=0.
Explico por que fazemos isso: a resposta natural (zero-input) mostra se o sistema tem modos que crescem sem limite; se algum modo cresce, o sistema é instável independentemente da entrada.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea assumimos uma solução do tipo exponencial discreta \;y[n]=r^n\;. Isso é um ansatz padrão: se colocarmos \;y[n]=r^n\; na equação, poderemos obter uma equação algébrica para r. Substituindo:
r^n + r^{n-1} - 2 r^{n-2} = 0.
Dividindo ambos os lados por r^{n-2} (assumindo r\neq0) obtemos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.

Passo 4

Agora resolvemos a quadrática \;r^2 + r - 2 = 0\;. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para \;ar^2+br+c=0\;, as raízes são \;r = \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;. Aqui a=1, b=1, c=-2. Então
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot1\cdot(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.
Portanto as raízes são
r_1 = \frac{-1+3}{2}=1,\qquad r_2 = \frac{-1-3}{2}=-2.

Passo 5

A solução geral da homogênea (modos naturais) é combinação linear das potências dessas raízes:
y_h[n] = C_1\cdot 1^n + C_2\cdot(-2)^n = C_1 + C_2(-2)^n,
onde C_1 e C_2 dependem das condições iniciais. Agora a interpretação importante para estabilidade:
  • Um termo proporcional a 1^n é constante em módulo (não decai nem cresce).
  • Um termo proporcional a (-2)^n tem magnitude |-2|^n = 2^n, que cresce exponencialmente quando n\to\infty se C_2\neq0.
Portanto, se as condições iniciais fizerem C_2\neq0, a resposta natural y_h[n] cresce sem limite → sistema internamente instável.

Passo 6

Agora explico a conexão com a função de transferência e por que às vezes aparece uma aparente contradição (isto é importante para a prova). Fazendo transformada z com condições iniciais nulas obtemos a função de transferência
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1+2z^{-1}}{1+z^{-1}-2z^{-2}}.
Multiplicando numerador e denominador por z^2,
H(z)=\frac{z^2+2z}{z^2+z-2}=\frac{z(z+2)}{(z-1)(z+2)}=\frac{z}{z-1},
ou, de forma equivalente,
H(z)=\frac{1}{1-z^{-1}}.
Aqui vemos que há um zero em z=-2 que cancela a raiz z=-2 do denominador. Esse cancelamento significa que, para a resposta forçada (resposta ao input) com condições iniciais nulas, o modo em z=-2 não aparece no H(z). Porém atenção crucial: o cancelamento de polo e zero pode esconder um modo instável que ainda existe na equação diferencial/discreta e que pode ser excitado por condições iniciais. Ou seja, o cancelamento no transfer function não garante que o sistema seja internamente estável — apenas diz que aquele modo não é visível na resposta forçada com condições iniciais nulas.

Passo 7

Classificações finais segundo os dois pontos de vista:
  • Observando a equação característica (modos naturais) obtivemos uma raiz -2 com |-2|>1. Isso implica que existe um modo que cresce exponencialmente no tempo discreto para certas condições iniciais → o sistema é internamente instável.
  • O H(z) final tem apenas um polo em z=1 (na circunferência unitária), o que por si só também impede estabilidade BIBO (o impulso h[n]=1 para n\ge0 não é absolutamente somável). Mesmo sem considerar a raiz -2, o pólo em z=1 já descarta estabilidade BIBO (é, na melhor das hipóteses, marginal em termos de resposta forçada).
Juntando tudo: há um modo instável ( r=-2) e o pólo remanescente em z=1 não garante decaimento. Portanto o sistema não é estável.

Resposta

Instável.

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