Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a equação de diferença
e pede para determinar se o sistema associado é estável, instável ou marginalmente estável. As informações relevantes são: a equação linear com coeficientes constantes relacionando entrada
e saída
. A pergunta é: qual a classificação de estabilidade do sistema descrito por essa equação?
Passo 2
Vamos primeiro obter a equação homogênea (zero entrada) porque as raízes dessa equação determinam os modos naturais do sistema, que são cruciais para a estabilidade. A equação homogênea é obtida fazendo
, ficando
Explico por que fazemos isso: a resposta natural (zero-input) mostra se o sistema tem modos que crescem sem limite; se algum modo cresce, o sistema é instável independentemente da entrada.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea assumimos uma solução do tipo exponencial discreta
. Isso é um ansatz padrão: se colocarmos
na equação, poderemos obter uma equação algébrica para
. Substituindo:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos a equação característica
Passo 4
Agora resolvemos a quadrática
. Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática): para
, as raízes são
. Aqui
,
,
. Então
Portanto as raízes são
Passo 5
A solução geral da homogênea (modos naturais) é combinação linear das potências dessas raízes:
onde
e
dependem das condições iniciais. Agora a interpretação importante para estabilidade:
- Um termo proporcional a
é constante em módulo (não decai nem cresce). - Um termo proporcional a
tem magnitude , que cresce exponencialmente quando se .
Portanto, se as condições iniciais fizerem
, a resposta natural
cresce sem limite → sistema internamente instável.
Passo 6
Agora explico a conexão com a função de transferência e por que às vezes aparece uma aparente contradição (isto é importante para a prova). Fazendo transformada z com condições iniciais nulas obtemos a função de transferência
Multiplicando numerador e denominador por
,
ou, de forma equivalente,
Aqui vemos que há um zero em
que cancela a raiz
do denominador. Esse cancelamento significa que, para a resposta forçada (resposta ao input) com condições iniciais nulas, o modo em
não aparece no
. Porém atenção crucial: o cancelamento de polo e zero pode esconder um modo instável que ainda existe na equação diferencial/discreta e que pode ser excitado por condições iniciais. Ou seja, o cancelamento no transfer function não garante que o sistema seja internamente estável — apenas diz que aquele modo não é visível na resposta forçada com condições iniciais nulas.
Passo 7
Classificações finais segundo os dois pontos de vista:
- Observando a equação característica (modos naturais) obtivemos uma raiz
com . Isso implica que existe um modo que cresce exponencialmente no tempo discreto para certas condições iniciais → o sistema é internamente instável. - O
final tem apenas um polo em (na circunferência unitária), o que por si só também impede estabilidade BIBO (o impulso para não é absolutamente somável). Mesmo sem considerar a raiz , o pólo em já descarta estabilidade BIBO (é, na melhor das hipóteses, marginal em termos de resposta forçada).
Juntando tudo: há um modo instável (
) e o pólo remanescente em
não garante decaimento. Portanto o sistema não é estável.
Resposta
Instável.