Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema descrito pela equação de diferença abaixo é estável, instável ou marginalmente estável:
Informações dadas:
- A equação de diferença linear com coeficientes constantes está explicitada acima.
- Queremos classificar a estabilidade do sistema (uma única classificação: estável, instável ou marginalmente estável).
- Não há figura ou dado adicional: apenas a própria equação.
Passo 2
O que significa “estável” aqui (explicando devagar e sem jargão):
- Para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) em tempo discreto, costumamos usar a noção de BIBO (Bounded-Input Bounded-Output): o sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (ou seja, com magnitude limitada por alguma constante) produz uma saída também limitada.
- Uma maneira prática de verificar estabilidade é analisar as raízes do polinômio característico associado à parte homogênea da equação (isto é, quando
). Essas raízes são os polos do sistema. Regra prática: - Se todos os polos têm módulo estritamente menor que
(isto é, ), o sistema é estável. - Se existe pelo menos um polo com
, o sistema é instável. - Se todos os polos têm
e aqueles com são simples (multiplicidade ) e não há polos com , o sistema pode ser marginalmente estável (mas atenção: presença de polos com pode levar a comportamento não decrescente).
Vou aplicar esse critério ao nosso caso.
- Se todos os polos têm módulo estritamente menor que
Passo 3
Formamos a equação homogênea (colocando
):
Procuramos soluções da forma
. Isso é um truque padrão: se
, então
e
; ao substituir na equação homogênea, todos os termos têm um fator
comum que pode ser cancelado, resultando numa equação polinomial para
.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea e cancelando
obtemos o polinômio característico:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Fatorando:
Logo as raízes (polos) são
Passo 5
Interpretando as raízes para o comportamento da solução homogênea:
- A solução geral homogênea tem a forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
- Olhando para os módulos (valores absolutos) das raízes:
-
. -
.
-
- O termo
tem magnitude constante (oscila entre sinais, mas não cresce nem decai). - O termo
cresce em magnitude como (ou seja, diverge exponencialmente) sempre que .
Passo 6
Conclusão sobre estabilidade:
- A presença de uma raiz com
(aqui com ) implica que, mesmo com entrada nula ( ), para certas condições iniciais a resposta cresce sem limite — portanto o sistema não é BIBO estável. - Mesmo que houvesse apenas a raiz em
(com ), isso poderia levar a comportamento marginal; mas nesse caso já temos um polo fora do círculo unitário, o que domina: o sistema é instável.
Resposta
instável