Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(b) y[n]+3 y[n-1]+2 y[n-2]=x[n-1]+2 x[n-2]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema descrito pela equação de diferença abaixo é estável, instável ou marginalmente estável:
y[n]+3\,y[n-1]+2\,y[n-2]=x[n-1]+2\,x[n-2].
Informações dadas:
  • A equação de diferença linear com coeficientes constantes está explicitada acima.
  • Queremos classificar a estabilidade do sistema (uma única classificação: estável, instável ou marginalmente estável).
  • Não há figura ou dado adicional: apenas a própria equação.

Passo 2

O que significa “estável” aqui (explicando devagar e sem jargão):
  • Para sistemas lineares invariantes no tempo (LTI) em tempo discreto, costumamos usar a noção de BIBO (Bounded-Input Bounded-Output): o sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado (ou seja, com magnitude limitada por alguma constante) produz uma saída também limitada.
  • Uma maneira prática de verificar estabilidade é analisar as raízes do polinômio característico associado à parte homogênea da equação (isto é, quando x[n]=0). Essas raízes são os polos do sistema. Regra prática:
    • Se todos os polos têm módulo estritamente menor que 1 (isto é, |p|<1), o sistema é estável.
    • Se existe pelo menos um polo com |p|>1, o sistema é instável.
    • Se todos os polos têm |p|\le 1 e aqueles com |p|=1 são simples (multiplicidade 1) e não há polos com |p|>1, o sistema pode ser marginalmente estável (mas atenção: presença de polos com |p|=1 pode levar a comportamento não decrescente).
      Vou aplicar esse critério ao nosso caso.

Passo 3

Formamos a equação homogênea (colocando x[n]=0):
y[n]+3\,y[n-1]+2\,y[n-2]=0.
Procuramos soluções da forma y[n]=r^{n}. Isso é um truque padrão: se y[n]=r^{n}, então y[n-1]=r^{n-1} e y[n-2]=r^{n-2}; ao substituir na equação homogênea, todos os termos têm um fator r^{n-2} comum que pode ser cancelado, resultando numa equação polinomial para r.

Passo 4

Substituindo y[n]=r^{n} na equação homogênea e cancelando r^{n-2} obtemos o polinômio característico:
r^{2}+3r+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Fatorando:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0.
Logo as raízes (polos) são
r_{1}=-1,\qquad r_{2}=-2.

Passo 5

Interpretando as raízes para o comportamento da solução homogênea:
  • A solução geral homogênea tem a forma
y_{h}[n]=C_{1}(-1)^{n}+C_{2}(-2)^{n},
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Olhando para os módulos (valores absolutos) das raízes:
    • |r_{1}|=|{-1}|=1.
    • |r_{2}|=|{-2}|=2>1.
  • O termo C_{1}(-1)^{n} tem magnitude constante (oscila entre sinais, mas não cresce nem decai).
  • O termo C_{2}(-2)^{n} cresce em magnitude como 2^{n} (ou seja, diverge exponencialmente) sempre que C_{2}\neq 0.

Passo 6

Conclusão sobre estabilidade:
  • A presença de uma raiz com |r|>1 (aqui r_{2}=-2 com |r_{2}|=2) implica que, mesmo com entrada nula ( x[n]=0), para certas condições iniciais a resposta y[n] cresce sem limite — portanto o sistema não é BIBO estável.
  • Mesmo que houvesse apenas a raiz em -1 (com |r|=1), isso poderia levar a comportamento marginal; mas nesse caso já temos um polo fora do círculo unitário, o que domina: o sistema é instável.

Resposta

instável

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