Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(c) y[n]+2 y[n-1]+0,96 y[n-2]=x[n]

Passo 1

O enunciado fornece a equação de diferença
y[n] + 2\,y[n-1] + 0,96\,y[n-2] = x[n]
e pede para determinar se o sistema descrito por essa equação é estável, instável ou marginalmente estável.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear e com coeficientes constantes.
  • A entrada é x[n] e a saída é y[n].
  • Os coeficientes do termo de atraso são 2 e 0,96.

Passo 2

O que vamos usar (conceito importante, explicado de forma simples): para sistemas lineares e invariantes no tempo descritos por equações diferenciais/discreta com coeficientes constantes, a estabilidade (no sentido BIBO — bound-ed input, bounded output) é determinada pelas raízes do polinômio denominador do sistema no domínio z (os chamados polos). Regra prática:
  • O sistema é BIBO estável se, e somente se, todos os polos tiverem módulo menor que 1 (ou seja, estiverem dentro do círculo unitário no plano z).
  • Se algum polo tiver módulo maior que 1, o sistema é instável.
  • Se todos os polos tiverem módulo menor ou igual a 1 e pelo menos um tiver módulo exatamente 1 (e multiplicidade > 1 ou comportamento que não leva à convergência), então pode ser marginalmente estável; mas aqui basta verificar módulos estritamente menores que 1 para estabilidade.
Vou então encontrar os polos do sistema e comparar seus módulos com 1.

Passo 3

Obtenção da função de transferência H(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}. Aplicando transformada z (ou reorganizando a equação), temos
H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{1}{1+2z^{-1}+0,96z^{-2}}.
Para encontrar os polos, é conveniente escrever o denominador como polinômio em z. Multiplicando numerador e denominador por z^{2} obtemos o polinômio do denominador:
\text{den}(z)=z^{2}+2z+0,96.
Os polos são as raízes da equação
z^{2}+2z+0,96=0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática passo a passo. Usamos a fórmula quadrática \displaystyle z=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} com a=1, b=2, c=0,96.
Calcule o discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot 1\cdot 0,96 = 4 - 3,84 = 0,16.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{0,16}=0,4.
Agora as raízes:
z=\frac{-2\pm 0,4}{2}.
Calculando cada uma:
z_{1}=\frac{-2+0,4}{2}=\frac{-1,6}{2}=-0,8,
z_{2}=\frac{-2-0,4}{2}=\frac{-2,4}{2}=-1,2.

Passo 5

Avaliação dos módulos (distâncias ao zero no plano z):
|z_{1}| = |-0,8| = 0,8,
|z_{2}| = |-1,2| = 1,2.
Comparando com 1:
  • |z_{1}|=0,8<1 (este polo está dentro do círculo unitário).
  • |z_{2}|=1,2>1 (este polo está fora do círculo unitário).
Pelo critério de estabilidade BIBO, basta que exista pelo menos um polo com módulo maior que 1 para que o sistema seja instável. Assim o sistema é instável.

Resposta

instável

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