Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado fornece a equação de diferença
e pede para determinar se o sistema descrito por essa equação é estável, instável ou marginalmente estável.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear e com coeficientes constantes.
- A entrada é
e a saída é . - Os coeficientes do termo de atraso são
e .
Passo 2
O que vamos usar (conceito importante, explicado de forma simples): para sistemas lineares e invariantes no tempo descritos por equações diferenciais/discreta com coeficientes constantes, a estabilidade (no sentido BIBO — bound-ed input, bounded output) é determinada pelas raízes do polinômio denominador do sistema no domínio
(os chamados polos). Regra prática:
- O sistema é BIBO estável se, e somente se, todos os polos tiverem módulo menor que
(ou seja, estiverem dentro do círculo unitário no plano ). - Se algum polo tiver módulo maior que
, o sistema é instável. - Se todos os polos tiverem módulo menor ou igual a
e pelo menos um tiver módulo exatamente (e multiplicidade > 1 ou comportamento que não leva à convergência), então pode ser marginalmente estável; mas aqui basta verificar módulos estritamente menores que 1 para estabilidade.
Vou então encontrar os polos do sistema e comparar seus módulos com
.
Passo 3
Obtenção da função de transferência
. Aplicando transformada z (ou reorganizando a equação), temos
Para encontrar os polos, é conveniente escrever o denominador como polinômio em
. Multiplicando numerador e denominador por
obtemos o polinômio do denominador:
Os polos são as raízes da equação
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática passo a passo. Usamos a fórmula quadrática
com
,
,
.
Calcule o discriminante:
Calcule o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
Agora as raízes:
Calculando cada uma:
Passo 5
Avaliação dos módulos (distâncias ao zero no plano
):
Comparando com
:
-
(este polo está dentro do círculo unitário). -
(este polo está fora do círculo unitário).
Pelo critério de estabilidade BIBO, basta que exista pelo menos um polo com módulo maior que
para que o sistema seja instável. Assim o sistema é instável.
Resposta
instável