Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(a) y[n+2]+0,6 y[n+1]-0,16 y[n]=x[n+1]-2 x[n]

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação de diferença linear com coeficientes constantes:
y[n+2] + 0,6\,y[n+1] - 0,16\,y[n] = x[n+1] - 2\,x[n].
O que é pedido: determinar se o sistema descrito por essa equação é estável, instável ou marginalmente estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma equação de diferença linear com termos de saída até y[n+2] e termos de entrada até x[n+1].
  • Os coeficientes da parte homogênea (quando x[\cdot]=0) são 1 para y[n+2], 0,6 para y[n+1] e -0,16 para y[n].
  • A decisão de estabilidade será baseada nesses coeficientes (raizes do polinômio característico).

Passo 2

Explicação didática do critério que vamos usar (sem pular etapas):
  • Para sistemas lineares com coeficientes constantes, a estabilidade (no sentido BIBO para sistemas causais) é verificada pelos polos do sistema, isto é, pelas raízes do polinômio característico obtido da parte homogênea.
  • Regras práticas (que eu explico devagar porque já sei que isso assusta na prova):
    • Se todas as raízes (polos) têm módulo estritamente menor que 1 (ou seja, ficam dentro do círculo unitário no plano complexo), o sistema é estável.
    • Se pelo menos uma raiz tem módulo maior que 1, o sistema é instável.
    • Se todas as raízes têm módulo menor ou igual a 1, e alguma(s) fica exatamente com módulo 1, aí temos que checar multiplicidade: se houver polo com módulo 1 e multiplicidade maior que 1 (polo repetido) o sistema é instável; se houver polos simples sobre o círculo unitário e os demais dentro, dizemos marginalmente estável (oscilações não decaem).
  • Portanto, nosso objetivo prático: obter o polinômio característico da parte homogênea, encontrar suas raízes e comparar os módulos com 1.

Passo 3

Formando a equação homogênea (colocamos a entrada x[\cdot]=0) para achar as raízes:
y[n+2] + 0,6\,y[n+1] - 0,16\,y[n] = 0.
Procuramos soluções do tipo y[n]=r^n. Substituindo:
r^{n+2} + 0,6\,r^{n+1} - 0,16\,r^{n} = 0.
Dividindo por r^{n} (assumindo r\neq 0), obtemos o polinômio característico:
r^{2} + 0,6\,r - 0,16 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Para \;ar^2+br+c=0\; as raízes são
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=0,6, c=-0,16. Então calculamos o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (0,6)^2 - 4\cdot 1\cdot(-0,16).
Calcule passo a passo:
(0,6)^2 = 0,36,
-4\cdot 1\cdot(-0,16) = +0,64,
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\Delta = 0,36 + 0,64 = 1,00.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta} = 1.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula para encontrar as duas raízes:
r = \frac{-0,6 \pm 1}{2}.
Calculando cada uma:
  • Para o sinal +:
r_{1} = \frac{-0,6 + 1}{2} = \frac{0,4}{2} = 0,2.
  • Para o sinal -:
r_{2} = \frac{-0,6 - 1}{2} = \frac{-1,6}{2} = -0,8.

Passo 6

Verificação dos módulos das raízes (isto é, seu valor absoluto) e interpretação:
|r_{1}| = |0,2| = 0,2 < 1,
|r_{2}| = |-0,8| = 0,8 < 1.
Ambas as raízes têm módulo estritamente menor que 1. Pelo critério explicado antes, isso significa que as componentes homogêneas decaem exponencialmente com o tempo (para n\to\infty), e o sistema é estável (BIBO estável, assumindo a formulação padrão do LCCDE).
Comentário prático e motivador: deu trabalho, mas olha que bom — as raízes são bem dentro do círculo unitário, então o sistema não explode nem fica com oscilações permanentes. Dá para responder isso rápido na prova assim que souber calcular o polinômio característico e a fórmula quadrática.

Resposta

Estável

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