Para os sistemas descritos pelas seguintes equações de diferença, determine se o mesmo setá estável, instável ou marginalmente estável.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação de diferença linear com coeficientes constantes:
O que é pedido: determinar se o sistema descrito por essa equação é estável, instável ou marginalmente estável.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma equação de diferença linear com termos de saída até
e termos de entrada até . - Os coeficientes da parte homogênea (quando
) são para , para e para . - A decisão de estabilidade será baseada nesses coeficientes (raizes do polinômio característico).
Passo 2
Explicação didática do critério que vamos usar (sem pular etapas):
- Para sistemas lineares com coeficientes constantes, a estabilidade (no sentido BIBO para sistemas causais) é verificada pelos polos do sistema, isto é, pelas raízes do polinômio característico obtido da parte homogênea.
- Regras práticas (que eu explico devagar porque já sei que isso assusta na prova):
- Se todas as raízes (polos) têm módulo estritamente menor que
(ou seja, ficam dentro do círculo unitário no plano complexo), o sistema é estável. - Se pelo menos uma raiz tem módulo maior que
, o sistema é instável. - Se todas as raízes têm módulo menor ou igual a
, e alguma(s) fica exatamente com módulo , aí temos que checar multiplicidade: se houver polo com módulo e multiplicidade maior que (polo repetido) o sistema é instável; se houver polos simples sobre o círculo unitário e os demais dentro, dizemos marginalmente estável (oscilações não decaem).
- Se todas as raízes (polos) têm módulo estritamente menor que
- Portanto, nosso objetivo prático: obter o polinômio característico da parte homogênea, encontrar suas raízes e comparar os módulos com
.
Passo 3
Formando a equação homogênea (colocamos a entrada
) para achar as raízes:
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo:
Dividindo por
(assumindo
), obtemos o polinômio característico:
Passo 4
Resolver a equação quadrática. Vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Para as raízes são
Para
Aqui
,
,
. Então calculamos o discriminante:
Calcule passo a passo:
logo
A raiz quadrada do discriminante é
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula para encontrar as duas raízes:
Calculando cada uma:
- Para o sinal
:
- Para o sinal
:
Passo 6
Verificação dos módulos das raízes (isto é, seu valor absoluto) e interpretação:
Ambas as raízes têm módulo estritamente menor que
. Pelo critério explicado antes, isso significa que as componentes homogêneas decaem exponencialmente com o tempo (para
), e o sistema é estável (BIBO estável, assumindo a formulação padrão do LCCDE).
Comentário prático e motivador: deu trabalho, mas olha que bom — as raízes são bem dentro do círculo unitário, então o sistema não explode nem fica com oscilações permanentes. Dá para responder isso rápido na prova assim que souber calcular o polinômio característico e a fórmula quadrática.
Resposta
Estável