Questão 4. Resolva recursivamente as quatro primeiras amostras para as seguintes equações de diferença:
com:
e
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação de diferença e pede para calcular, recursivamente, as quatro primeiras amostras de
. Informações dadas:
condições iniciais
e
.
O que é pedido: calcular as primeiras quatro amostras de
. Vou entender isso como encontrar
Passo 2
Entender
Logo
e
para
.
Precisamos dos valores de
para índices entre
e
. Calculando:
Passo 3
Transformar a equação de diferença para isolarmos a amostra futura. A equação dada é
Isolando
obtemos a fórmula recursiva:
Explicação do que aparece: o termo entre parênteses é a contribuição da entrada
nas amostras
; os outros termos são as contribuições das amostras anteriores de
. Para calcular
em índices não-negativos usaremos essa relação com
escolhido de forma que
seja o índice que queremos encontrar (por exemplo, para
tomamos
).
Passo 4
Calcular
usando a fórmula com
:
Substituindo os valores de
e
conhecidos:
Portanto
Passo 5
Calcular
usando a fórmula com
:
Substituindo:
Calculando:
(Organizando os sinais:
.)
Passo 6
Calcular
usando a fórmula com
:
Substituindo:
Calculando:
Primeiro o somatório de
:
Agora os termos de
:
Somando tudo:
Passo 7
Calcular
usando a fórmula com
:
Substituindo:
Calculando o somatório de
:
Termos de
:
Somando: