Questão 4. Resolva recursivamente as quatro primeiras amostras para as seguintes equações de diferença:
y[n+2]+3 y[n+1]+2 y[n]=x[n+2]+3 x[n+1]+3 x[n]
com: x[n]=3^{n} u[n], y[-1]=3 e y[-2]=2.

Passo 1

O enunciado fornece a equação de diferença e pede para calcular, recursivamente, as quatro primeiras amostras de y[n]. Informações dadas:
y[n+2]+3\,y[n+1]+2\,y[n]=x[n+2]+3\,x[n+1]+3\,x[n],
x[n]=3^{n}u[n],
condições iniciais \;y[-1]=3 e \;y[-2]=2.
O que é pedido: calcular as primeiras quatro amostras de y[n]. Vou entender isso como encontrar
y[0],\; y[1],\; y[2],\; y[3].

Passo 2

Entender x[n]=3^{n}u[n]\). Aqui \(u[n]\) é a função degrau unitário: \[u[n]=\begin{cases}1,& n\ge0,\\\ 0,& n<0.\end{cases}
Logo x[n]=3^{n}\] para \(n\ge0 e x[n]=0 para n<0.
Precisamos dos valores de x[n] para índices entre -2 e 3. Calculando:
x[-2]=0,\quad x[-1]=0,\quad x[0]=3^{0}=1,
x[1]=3^{1}=3,\quad x[2]=3^{2}=9,\quad x[3]=3^{3}=27.

Passo 3

Transformar a equação de diferença para isolarmos a amostra futura. A equação dada é
y[n+2]+3\,y[n+1]+2\,y[n]=x[n+2]+3\,x[n+1]+3\,x[n].
Isolando y[n+2] obtemos a fórmula recursiva:
y[n+2]=\bigl(x[n+2]+3\,x[n+1]+3\,x[n]\bigr)-3\,y[n+1]-2\,y[n].
Explicação do que aparece: o termo entre parênteses é a contribuição da entrada x nas amostras n,n+1,n+2; os outros termos são as contribuições das amostras anteriores de y. Para calcular y em índices não-negativos usaremos essa relação com n escolhido de forma que n+2 seja o índice que queremos encontrar (por exemplo, para y[0] tomamos n=-2).

Passo 4

Calcular y[0] usando a fórmula com n=-2:
y[0]=\bigl(x[0]+3\,x[-1]+3\,x[-2]\bigr)-3\,y[-1]-2\,y[-2].
Substituindo os valores de x e y conhecidos:
x[0]=1,\; x[-1]=0,\; x[-2]=0,\; y[-1]=3,\; y[-2]=2.
Portanto
y[0]=\bigl(1+3\cdot0+3\cdot0\bigr)-3\cdot3-2\cdot2 = 1-9-4 = -12.

Passo 5

Calcular y[1] usando a fórmula com n=-1:
y[1]=\bigl(x[1]+3\,x[0]+3\,x[-1]\bigr)-3\,y[0]-2\,y[-1].
Substituindo:
x[1]=3,\; x[0]=1,\; x[-1]=0,\; y[0]=-12,\; y[-1]=3.
Calculando:
y[1]=\bigl(3+3\cdot1+3\cdot0\bigr)-3\cdot(-12)-2\cdot3 = (3+3)-(-36)-6 = 6+36-6 = 36.
(Organizando os sinais: -3\cdot(-12)=+36.)

Passo 6

Calcular y[2] usando a fórmula com n=0:
y[2]=\bigl(x[2]+3\,x[1]+3\,x[0]\bigr)-3\,y[1]-2\,y[0].
Substituindo:
x[2]=9,\; x[1]=3,\; x[0]=1,\; y[1]=36,\; y[0]=-12.
Calculando:
y[2]=\bigl(9+3\cdot3+3\cdot1\bigr)-3\cdot36-2\cdot(-12).
Primeiro o somatório de x:
9+9+3=21.
Agora os termos de y:
-3\cdot36=-108,\quad -2\cdot(-12)=+24.
Somando tudo:
y[2]=21-108+24 = 21-84 = -63.

Passo 7

Calcular y[3] usando a fórmula com n=1:
y[3]=\bigl(x[3]+3\,x[2]+3\,x[1]\bigr)-3\,y[2]-2\,y[1].
Substituindo:
x[3]=27,\; x[2]=9,\; x[1]=3,\; y[2]=-63,\; y[1]=36.
Calculando o somatório de x:
27+3\cdot9+3\cdot3 = 27+27+9 = 63.
Termos de y:
-3\cdot(-63)=+189,\quad -2\cdot36=-72.
Somando:
y[3]=63+189-72 = 63+117 = 180.

Resposta

y[0]=-12
y[1]=36
y[2]=-63
y[3]=180

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