Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
© 3 y(t)+2=x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema dado pela equação
3,y(t) + 2 = x(t)
e a gente precisa decidir se esse sistema é linear ou não.
Matéria envolvida: teoria de sistemas lineares – ou seja, entender superposição (homogeneidade + aditividade). Para resolver, vamos lembrar o que significa “sistema linear” e então testar o nosso caso.

Passo 2

O que é um sistema linear?
  1. Homogeneidade: se você escalar a entrada por um fator Ta,x(t) = a,Tx(t), a saída também deve escalar por esse mesmo Tx1(t) + x2(t) = Tx1(t) + Tx2(t).
    Formalmente, se é o operador do sistema,
  2. Aditividade: se você somar duas entradas e , a saída deve ser a soma das saídas individuais.

Passo 3

Vamos achar explicitamente a saída 3,y(t) + 2 = x(t), em função de y(t) = x(t) - 23 = 13,x(t) ;-; 23 .
Partindo de
isolamos :
Note que além do termo existe um “offset” constante . Isso já dá um sinal de alerta: um sistema linear entrega zero na saída quando a entrada é zero.

Passo 4

Vamos testar homogeneidade:
Se ya(t) = 13l(a,x(t)r) - 23 = a3,x(t) - 23 vira a,y(t) = a!l(13,x(t) - 23r) = a3,x(t) - 2a3 , a saída proposta seria
a3,x(t) - 23 ;stackrel?=; a3,x(t) - 2a3
Por outro lado, y(t) = -tfrac23 neq 0, vezes a saída original seria
Para homogeneidade precisaríamos ter , ou seja
Isso só bate se , o que exigiria . Então, para um genérico não funciona: homogeneidade falha.
Você pode também olhar no ponto zero: se , a saída fica
mas num sistema linear deveríamos ter quando .

Resposta

Esse sistema não é linear.

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