Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
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Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um sistema dado pela equação
e a gente precisa decidir se esse sistema é linear ou não.
Matéria envolvida: teoria de sistemas lineares – ou seja, entender superposição (homogeneidade + aditividade). Para resolver, vamos lembrar o que significa “sistema linear” e então testar o nosso caso.
Matéria envolvida: teoria de sistemas lineares – ou seja, entender superposição (homogeneidade + aditividade). Para resolver, vamos lembrar o que significa “sistema linear” e então testar o nosso caso.
Passo 2
O que é um sistema linear?
- Homogeneidade: se você escalar a entrada por um fator
, a saída também deve escalar por esse mesmo .
Formalmente, seé o operador do sistema, - Aditividade: se você somar duas entradas
e , a saída deve ser a soma das saídas individuais.
Passo 3
Vamos achar explicitamente a saída
em função de
.
Partindo de
Partindo de
isolamos
:
Note que além do termo
existe um “offset” constante
. Isso já dá um sinal de alerta: um sistema linear entrega zero na saída quando a entrada é zero.
Passo 4
Vamos testar homogeneidade:
Se vira
, a saída proposta seria
Se
Por outro lado,
vezes a saída original seria
Para homogeneidade precisaríamos ter
, ou seja
Isso só bate se
, o que exigiria
. Então, para um
genérico não funciona: homogeneidade falha.
Você pode também olhar no ponto zero: se
, a saída fica
mas num sistema linear deveríamos ter
quando
.
Resposta
Esse sistema não é linear.