Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(b) d yd t+3 t y(t)=t^2 x(t)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos o sistema dado por
.
A entrada é , a saída é . Queremos descobrir se esse sistema é linear ou não.
Conteúdo: vamos usar a definição de sistema linear – isto é, o princípio da superposição (adição + homogeneidade). Para isso, vamos precisar entender como testar se, para dois sinais de entrada e e constantes , , a saída correspondente ao sinal é .

Passo 2

Teoria na prática:
  1. Definição de sistema linear: seja Ll[a,x1 + b,x2r] ;=; a,y1 + b,y2 o operador que mapeia entrada em saída, dydt = ddtl[a,y1 + b,y2r] = a,dy1dt + b,dy2dt . O sistema é linear se, dados dois sinais dydt + 3t,y = al(dy1dt+3t,y1r) + bl(dy2dt+3t,y2r) = al(t^2,x1r) + bl(t^2,x2r) = t^2l(a,x1 + b,x2r) e com saídas e , para quaisquer escalares e tivermos
  1. Aplicando ao nosso sistema:
    • Se a entrada for , a saída satisfaz

    • Se a entrada for , a saída satisfaz

    Agora imagina que você coloca como entrada e supõe uma saída candidata . Vamos ver se ela “bate” na equação:
    – Derivada: – Substituindo na equação do sistema:
Isso mostra que, de fato, ao inserir a saída é .

Passo 3

Como conseguimos provar a superposição (adição + homogeneidade) usando diretamente a equação diferencial, o sistema é linear.

Resposta

O sistema é linear.

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