Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais sistemas são lineares e quais são não lineares.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos o sistema dado por
.
A entrada é , a saída é
. Queremos descobrir se esse sistema é linear ou não.
Conteúdo: vamos usar a definição de sistema linear – isto é, o princípio da superposição (adição + homogeneidade). Para isso, vamos precisar entender como testar se, para dois sinais de entrada e
e constantes
,
, a saída correspondente ao sinal
é
.
A entrada é
Conteúdo: vamos usar a definição de sistema linear – isto é, o princípio da superposição (adição + homogeneidade). Para isso, vamos precisar entender como testar se, para dois sinais de entrada
Passo 2
Teoria na prática:
- Definição de sistema linear: seja
o operador que mapeia entrada em saída, . O sistema é linear se, dados dois sinais e com saídas e , para quaisquer escalares e tivermos
- Aplicando ao nosso sistema:
• Se a entrada for, a saída satisfaz
• Se a entrada for, a saída satisfaz
Agora imagina que você coloca como entradae supõe uma saída candidata . Vamos ver se ela “bate” na equação:
– Derivada:– Substituindo na equação do sistema:
Isso mostra que, de fato, ao inserir
a saída é
.
Passo 3
Como conseguimos provar a superposição (adição + homogeneidade) usando diretamente a equação diferencial, o sistema é linear.
Resposta
O sistema
é linear.