Uma senóide e^sigma t cos omega t pode ser expressa como a soma das exponenciais e^s t e e^-s t [Eq. (1.30c)] com freqüências complexas s=sigma+j omega e s=sigma -j omega. Localize no plano complexo as freqüências das seguintes senóides:
(a) cos 3 t

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo pra gente pegar uma senóide do tipo
e^sigma tcosomega t
e mostrar que ela vem da soma de duas exponenciais complexas com frequências
s=sigma+jomegae s=sigma-jomega
(Aquela fórmula do tipo ).
Aqui em (a) o que a gente tem é simplesmente .
Conteúdo: Frequências complexas, plano (eixo real vs. imaginário) e a relação Euler para cosseno.

Passo 2

Vamos comparar e^sigma tcosomega t = e^0cdot tcos(3t)=cos3t com .
– No nosso caso não há amortecimento, então .
– A frequência angular da senóide é .
Em outras palavras,

Passo 3

Agora aplicamos a regra de que cada cosseno vira a soma de dois expoentes:
cos3t = tfrac12l(e^j3t+e^-j3tr)
Isso significa que as “frequências complexas” são
s1 = 0 + j,3, s2 = 0 - j,3

Passo 4

No plano complexo (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical), esses pontos ficam em:
no eixo imaginário positivo,
no eixo imaginário negativo.

Resposta

As frequências complexas de s = +j3e s = -j3, são
localizadas no eixo imaginário nos pontos e .

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