Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), explique quais dos sistemas são invariantes no tempo e quais são variantes no tempo.
y(t)=t x(t-2)

Passo 1

O sistema é dado por
y(t) = t\,x(t-2).
O objetivo é verificar se ele é invariante no tempo. Para isso, vamos usar a definição de invariância temporal: deslocar a entrada no tempo e ver se o deslocamento aplicado à saída corresponde exatamente ao deslocamento na saída original.

Passo 2

Definição de invariância no tempo: um sistema S com resposta y(t) a uma entrada x(t) é invariante se, para todo atraso \,t_{0}, a entrada atrasada x_{1}(t)=x(t-t_{0}) gera na saída y_{1}(t) que satisfaz
y_{1}(t) = y(t - t_{0}).
Se isso não ocorrer, o sistema é variante no tempo.

Passo 3

Aplicamos um atraso t_{0} na entrada:
x_{1}(t) = x(t - t_{0}).
A saída correspondente é
y_{1}(t) = t \; x_{1}(t-2) = t \; x\bigl((t-2)-t_{0}\bigr) = t \; x\bigl(t - t_{0} - 2\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos o mesmo atraso t_{0} à saída original y(t). A saída original é
y(t) = t\,x(t-2),
logo a saída atrasada é
y(t - t_{0}) = \bigl(t - t_{0}\bigr)\;x\bigl((t - t_{0}) - 2\bigr) = (t - t_{0})\;x\bigl(t - t_{0} - 2\bigr).

Passo 5

Comparando as duas expressões:
y_{1}(t) = t\,x\bigl(t - t_{0} - 2\bigr) \quad\text{e}\quad y(t - t_{0}) = (t - t_{0})\,x\bigl(t - t_{0} - 2\bigr).
Elas só seriam iguais para todo t se t = t - t_{0} para todo t, o que não acontece quando t_{0}\neq0. Portanto não satisfazem a definição de invariância.

Resposta

O sistema y(t)=t\,x(t-2) é variante no tempo.

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