Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada x(t) e saída y(t), determine quais são causais e quais são não causais.
y(t)=x(a t), \quad a<1

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
y(t)=x(a\,t),
com parâmetro real a<1, entrada x(t) e saída y(t). Queremos verificar se esse sistema é causal, ou seja, se para todo instante t_0 o valor de y(t_0) depende apenas de valores de x(t) para t\le t_0.

Passo 2

Lembrando a definição de causalidade: o sistema é causal se, para todo instante t_0, a saída
y(t_0)
pode ser determinada unicamente a partir de
\{\,x(t)\mid t\le t_0\}.
No nosso caso temos
y(t_0)=x\bigl(a\,t_0\bigr),
então o argumento do x que efetivamente aparece em y(t_0) é t_1=a\,t_0.

Passo 3

Para que x(t_1) seja um valor passado ou presente no instante t_0, precisamos de
t_1\le t_0.
Substituindo t_1=a\,t_0, obtemos a condição
a\,t_0 \le t_0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a-1)\,t_0 \le 0.

Passo 4

A desigualdade (a-1)\,t_0\le0 deve valer para todo t_0\in\mathbb{R}. Se a-1<0 (isto é, a<1), então (a-1)\,t_0\le0 só vale para t_0\ge0, mas falha sempre que t_0<0. Logo, não existe a<1 que satisfaça a exigência para todo t_0. O único caso em que (a-1)\,t_0\le0 vale para todo t_0 é a-1=0, ou seja, a=1.

Passo 5

Como o exercício fixa a<1, temos necessariamente a\neq1 e, portanto, a condição de causalidade falha para instantes t_0<0. Concluímos que o sistema dado é não causal.

Resposta

O sistema y(t)=x(a\,t) com a<1 é não causal.

Exercícios relacionados