Exercício 1. Explique por que o sistema contínuo no tempo y(t)=x(2 t) é sempre inversível e o sistema correspondente em tempo discreto y[n]=x[2 n] não é inversível.

Passo 1

O enunciado compara dois sistemas de multiplicação de eixo (time‐scaling): em tempo contínuo
y(t)=x(2t)
e em tempo discreto
y[n]=x[2n].
Pede para mostrar que o primeiro é sempre inversível (ou seja, existe um sistema que recupera x a partir de y) e que o segundo não é inversível.

Passo 2

Definição de inversibilidade: um sistema S que mapeia x em y=S\{x\} é inversível se existe um outro sistema S^{-1} tal que
S^{-1}\{y\}=x
para todo sinal de entrada x. Em particular, S deve ser um mapeamento injetor: entradas distintas não podem gerar a mesma saída.

Passo 3

Análise do caso contínuo y(t)=x(2t). A transformação t\mapsto 2t é bijetora no conjunto dos reais, pois para cada t\in\mathbb R existe exatamente um u\in\mathbb R tal que t=2u (basta definir u=t/2). Logo podemos definir o sistema inverso
x(t)=y\bigl(t/2\bigr).
De fato, aplicando esse operador a y obtemos
S^{-1}\{y\}(t)=y(t/2)=x\bigl(2\,(t/2)\bigr)=x(t),
o que prova que S é invertível.

Passo 4

Análise do caso discreto y[n]=x[2n]. Aqui o mapeamento n\mapsto 2n não é bijetor em \mathbb Z, pois vários valores de x[k] com k ímpar nunca aparecem em y. Em particular, quaisquer duas sequências que sejam idênticas em todos os índices pares, mas diferentes em pelo menos um índice ímpar, geram a mesma saída y[n].

Passo 5

Exemplo concreto de não–injetividade: seja
x_1[n]=\delta[n],\quad x_2[n]=\delta[n]+\delta[n-1].
Então para todo n\) \[y_1[n]=x_1[2n]=\delta[2n]= \begin{cases}1,&n=0,\\\ 0,&n\neq0,\end{cases}
e
y_2[n]=x_2[2n]=\delta[2n]+\delta[2n-1]=\delta[2n],
pois \delta[2n-1]=0\] para todo \(n\in\mathbb Z. Logo y_1[n]=y_2[n] embora x_1\neq x_2. Isso impede a existência de qualquer inverso que recupere unicamente x.

Resposta

O sistema contínuo y(t)=x(2t) é inversível porque o escalamento por 2 em \mathbb R é bijetor e seu inverso é x(t)=y(t/2). O sistema discreto y[n]=x[2n] não é inversível porque o escalamento por 2 em \mathbb Z não é bijetor (índices ímpares são perdidos), gerando perda de informação e múltiplas entradas distintas com a mesma saída.

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