Exercício 1. Explique por que o sistema contínuo no tempo
é sempre inversível e o sistema correspondente em tempo discreto
não é inversível.
Passo 1
O enunciado compara dois sistemas de multiplicação de eixo (time‐scaling): em tempo contínuo
e em tempo discreto
Pede para mostrar que o primeiro é sempre inversível (ou seja, existe um sistema que recupera
a partir de
) e que o segundo não é inversível.
Passo 2
Definição de inversibilidade: um sistema
que mapeia
em
é inversível se existe um outro sistema
tal que
para todo sinal de entrada
. Em particular,
deve ser um mapeamento injetor: entradas distintas não podem gerar a mesma saída.
Passo 3
Análise do caso contínuo
. A transformação
é bijetora no conjunto dos reais, pois para cada
existe exatamente um
tal que
(basta definir
). Logo podemos definir o sistema inverso
De fato, aplicando esse operador a
obtemos
o que prova que
é invertível.
Passo 4
Análise do caso discreto
. Aqui o mapeamento
não é bijetor em
, pois vários valores de
com
ímpar nunca aparecem em
. Em particular, quaisquer duas sequências que sejam idênticas em todos os índices pares, mas diferentes em pelo menos um índice ímpar, geram a mesma saída
.
Passo 5
Exemplo concreto de não–injetividade: seja
Então para todo
e
pois
. Logo
embora
. Isso impede a existência de qualquer inverso que recupere unicamente
.
Resposta
O sistema contínuo
é inversível porque o escalamento por
em
é bijetor e seu inverso é
. O sistema discreto
não é inversível porque o escalamento por 2 em
não é bijetor (índices ímpares são perdidos), gerando perda de informação e múltiplas entradas distintas com a mesma saída.