Para os sistemas descritos pelas seguintes equações, com entrada
e saída
, determine quais são causais e quais são não causais.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema
com parâmetro real
, entrada
e saída
. Queremos verificar se esse sistema é causal, ou seja, se para todo instante
o valor de
depende apenas de valores de
para
.
Passo 2
Lembrando a definição de causalidade: o sistema é causal se, para todo instante
, a saída
pode ser determinada unicamente a partir de
No nosso caso temos
então o argumento do
que efetivamente aparece em
é
.
Passo 3
Para que
seja um valor passado ou presente no instante
, precisamos de
Substituindo
, obtemos a condição
Passo 4
A desigualdade
deve valer para todo
. Se
(isto é,
), então
só vale para
, mas falha sempre que
. Logo, não existe
que satisfaça a exigência para todo
. O único caso em que
vale para todo
é
, ou seja,
.
Passo 5
Como o exercício fixa
, temos necessariamente
e, portanto, a condição de causalidade falha para instantes
. Concluímos que o sistema dado é não causal.
Resposta
O sistema
com
é não causal.