Exercício 2. Considere a relação de entrada/saída de dois sistemas em tempo discreto similares
e
\begin{aligned} y_{1}[n] & =\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} n+1\right) x[n] \\\ y_{2}[n] & =\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}(n+1)\right) x[n] \end{aligned}
Explique por que x[n] pode ser recuperado de y_{1}[n] mas x[n] não pode ser recuperado de y_{2}[n].

Passo 1

O enunciado apresenta dois sistemas tempo-discretos, ambos puramente multiplicativos (sem memória), definidos por
y_{1}[n]=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}n+1\Bigr)\,x[n] \quad\text{e}\quad y_{2}[n]=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}(n+1)\Bigr)\,x[n].
O conteúdo é recuperabilidade (invertibilidade) de sistemas memoryless: podemos inverter o sistema se o fator de multiplicação nunca for zero.

Passo 2

Um sistema puramente multiplicativo y[n]=h[n]\,x[n] é invertível se, e somente se, para todo n, h[n]\neq0. Nesse caso a inversa é
x[n] = \frac{y[n]}{h[n]}.

Passo 3

Analisando h_{1}[n]=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}n+1\bigr), buscamos zeros:
\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}n+1\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{2}n+1 = k\pi,\;k\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{k\pi-1}{\pi/2} = 2k - \frac{2}{\pi}.
Como \tfrac{2}{\pi} é irracional, n nunca é inteiro. Logo h_{1}[n]\neq0 para todo n\in\mathbb{Z}, e podemos recuperar
x[n] = \frac{y_{1}[n]}{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}n+1\bigr)}.

Passo 4

Agora para h_{2}[n]=\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}(n+1)\bigr) note que
\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}(n+1)\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{\pi}{2}(n+1)=m\pi,\;m\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad n+1 = 2m \quad\Longrightarrow\quad n = 2m-1,
ou seja, sempre que n é ímpar, h_{2}[n]=0. Nesses instantes y_{2}[n]=0 independentemente de x[n], e fica impossível determinar x[n].

Resposta

x[n] é recuperável de y_{1}[n] porque o fator \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}n+1\bigr) nunca se anula; já \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}(n+1)\bigr) zera para todo n ímpar, impedindo a inversão em y_{2}[n].

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