1. Sistemas lineares - classificação por estabilidade
    Problema 12 (desacoplar um sistema em uma EDO de ( 2^{\underline{\text { a }}}) ordem). Dado o sistema
\left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{\prime}=x_{2} \\\ x_{2}^{\prime}=-3 x_{1}-2 x_{2}+e^{-t} \end{array} \right.
(a) Elimine x_{2} para obter uma única EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem apenas para x_{1}(t). (b) Identifique a parte homogênea e o termo de forçamento. (c) Resolva a EDO completa. (d) Reescreva a solução de x_{2}(t) a partir de $x_{1}^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre o sistema
\left\{ \begin{array}{l} x_{1}^{\prime}=x_{2},\\[4pt] x_{2}^{\prime}=-3x_{1}-2x_{2}+e^{-t} \end{array} \right.
Listei as perguntas do enunciado:
(a) Eliminar x_{2} para obter uma EDO de segunda ordem só para x_{1}(t).
(b) Identificar a parte homogênea e o termo de forçamento da EDO obtida.
(c) Resolver a EDO completa (ou seja, encontrar x_{1}(t) geral).
(d) Reescrever x_{2}(t) a partir de x_{1}^{\prime}(t).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\,x_{1}(t) e \,x_{2}(t) são funções de t. Temos as equações para x_{1}^{\prime} e x_{2}^{\prime} explícitas, e o termo não homogêneo é e^{-t}. Não há condições iniciais fornecidas, então as constantes integrais ficarão livres.]

Passo 2

Eliminação de x_{2} para obter uma única EDO para x_{1}.
Explicação do método: como \,x_{1}^{\prime}=x_{2}, podemos derivar essa igualdade para obter uma expressão para x_{1}^{\prime\prime} em termos de x_{2}^{\prime}. Depois substituímos x_{2}^{\prime} usando a segunda equação do sistema e substituímos x_{2} por x_{1}^{\prime}. Isso é só usar a regra de diferenciação e substituição.
Cálculo passo a passo:
Derivando \,x_{1}^{\prime}=x_{2} obtemos
x_{1}^{\prime\prime}=x_{2}^{\prime}.
Agora substituímos x_{2}^{\prime} pela expressão dada:
x_{1}^{\prime\prime}=-3x_{1}-2x_{2}+e^{-t}.
Substituímos x_{2} por x_{1}^{\prime} (porque x_{2}=x_{1}^{\prime}):
x_{1}^{\prime\prime}=-3x_{1}-2x_{1}^{\prime}+e^{-t}.
Reorganizando termos para ficar na forma padrão:
x_{1}^{\prime\prime}+2x_{1}^{\prime}+3x_{1}=e^{-t}.

Passo 3

Identificar a parte homogênea e o termo de forçamento.
Explicação breve: Numa equação linear de segunda ordem, a “parte homogênea” é a equação obtida ao zerar o termo do lado direito (forçamento). O “termo de forçamento” (ou termo não-homogêneo) é o que fica no lado direito e provoca uma solução particular.
Da equação encontrada:
x_{1}^{\prime\prime}+2x_{1}^{\prime}+3x_{1}=e^{-t}
temos:
  • Parte homogênea:
x_{1}^{\prime\prime}+2x_{1}^{\prime}+3x_{1}=0.
  • Termo de forçamento:
e^{-t}.

Passo 4

Resolver a parte homogênea: método dos coeficientes indeterminados via equação característica.
Explicação do método: para uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo \,x_{1}(t)=e^{rt}. Substituindo na EDO homogênea gera a equação polinomial (característica) para r. As raízes r determinam a forma da solução homogênea.
Formamos a equação característica:
r^{2}+2r+3=0.
Calculamos as raízes usando a fórmula quadrática:
r=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}.
Como as raízes são complexas r=-1\pm i\sqrt{2}, a solução geral da homogênea é
x_{1}^{(h)}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Estratégia: o lado direito é e^{-t}. Para esse tipo de forçamento (exponencial), tentamos uma solução particular da forma \,x_{1}^{(p)}(t)=A e^{-t}, com A constante. Antes de tentar, verificamos se e^{-t} faz parte das soluções homogêneas: as soluções homogêneas são e^{-t}\cos(\sqrt{2}t) e e^{-t}\sin(\sqrt{2}t), ou seja, e^{-t} isolado não é uma solução homogênea (não há ressonância de ordem 0), então a tentativa \,A e^{-t} é apropriada.
Calcule as derivadas:
x_{1}^{(p)}(t)=A e^{-t},\qquad x_{1}^{(p)\prime}(t)=-A e^{-t},\qquad x_{1}^{(p)\prime\prime}(t)=A e^{-t}.
Substituindo na equação completa:
A e^{-t}+2(-A e^{-t})+3(A e^{-t})=e^{-t}.
Fatorando e^{-t}:
(A-2A+3A)e^{-t}=e^{-t}\quad\Longrightarrow\quad 2A e^{-t}=e^{-t}.
Logo 2A=1, assim A=\tfrac{1}{2}.
Portanto uma solução particular é
x_{1}^{(p)}(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}.

Passo 6

Montar a solução geral de x_{1}(t) somando homogênea e particular.
Explicação: para equações lineares, a solução geral da equação completa é soma da solução geral da homogênea com uma solução particular.
Logo
x_{1}(t)=x_{1}^{(h)}(t)+x_{1}^{(p)}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big)+\tfrac{1}{2}e^{-t}.
Podemos fatorar e^{-t} se quisermos:
x_{1}(t)=e^{-t}\Big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)+\tfrac{1}{2}\Big).

Passo 7

Obter x_{2}(t) a partir de x_{2}=x_{1}^{\prime}. Calculamos a derivada de x_{1}(t) cuidadosamente.
Para simplificar a escrita, defina \omega=\sqrt{2}. Escrevemos
x_{1}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)+\tfrac{1}{2}\big).
Use a regra do produto: se x_{1}=u(t)v(t) com u=e^{-t} e v=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t)+\tfrac{1}{2}, então
x_{1}^{\prime}=u'v+uv'.
Calculamos:
u'=-e^{-t},\qquad v'=-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t).
Assim
x_{2}(t)=x_{1}^{\prime}(t)=-e^{-t}v+e^{-t}\big(-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)\big).
Fatorando e^{-t} e expandindo v,
x_{2}(t)=e^{-t}\Big[(-C_{1}-\tfrac{1}{2})\cos(\omega t)+(-C_{2})\sin(\omega t)-C_{1}\omega\sin(\omega t)+C_{2}\omega\cos(\omega t)\Big].
Agrupando termos em \cos e \sin:
x_{2}(t)=e^{-t}\Big[(-C_{1}+C_{2}\omega)\cos(\omega t)+(-C_{2}-C_{1}\omega)\sin(\omega t)-\tfrac{1}{2}\Big].
Relembrando \omega=\sqrt{2}, essa é a expressão final para x_{2}(t). As constantes C_{1},C_{2} são as mesmas da solução de x_{1}.

Resposta

(a) \;x_{1}^{\prime\prime}+2x_{1}^{\prime}+3x_{1}=e^{-t}.
(b) Parte homogênea: \;x_{1}^{\prime\prime}+2x_{1}^{\prime}+3x_{1}=0. Termo de forçamento: \;e^{-t}.
(c) \;x_{1}(t)=e^{-t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big)+\tfrac{1}{2}e^{-t}.
(d) \;x_{2}(t)=x_{1}^{\prime}(t)=e^{-t}\Big[(-C_{1}+C_{2}\sqrt{2})\cos(\sqrt{2}\,t)+(-C_{2}-C_{1}\sqrt{2})\sin(\sqrt{2}\,t)-\tfrac{1}{2}\Big].

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