Sistemas lineares - classificação por estabilidade
Problema 12 (desacoplar um sistema em uma EDO de (2^{\underline{\text { a }}}) ordem). Dado o sistema
(a) Elimine x_{2} para obter uma única EDO de 2^{\mathrm{a}} ordem apenas para x_{1}(t). (b) Identifique a parte homogênea e o termo de forçamento. (c) Resolva a EDO completa. (d) Reescreva a solução de x_{2}(t) a partir de $x_{1}^{\prime}(t).
Listei as perguntas do enunciado:
(a) Eliminar x_{2} para obter uma EDO de segunda ordem só para x_{1}(t).
(b) Identificar a parte homogênea e o termo de forçamento da EDO obtida.
(c) Resolver a EDO completa (ou seja, encontrar x_{1}(t) geral).
(d) Reescrever x_{2}(t) a partir de x_{1}^{\prime}(t).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: \,x_{1}(t) e \,x_{2}(t) são funções de t. Temos as equações para x_{1}^{\prime} e x_{2}^{\prime} explícitas, e o termo não homogêneo é e^{-t}. Não há condições iniciais fornecidas, então as constantes integrais ficarão livres.]
Passo 2
Eliminação de x_{2} para obter uma única EDO para x_{1}.
Explicação do método: como \,x_{1}^{\prime}=x_{2}, podemos derivar essa igualdade para obter uma expressão para x_{1}^{\prime\prime} em termos de x_{2}^{\prime}. Depois substituímos x_{2}^{\prime} usando a segunda equação do sistema e substituímos x_{2} por x_{1}^{\prime}. Isso é só usar a regra de diferenciação e substituição.
Cálculo passo a passo:
Derivando \,x_{1}^{\prime}=x_{2} obtemos
x_{1}^{\prime\prime}=x_{2}^{\prime}.
Agora substituímos x_{2}^{\prime} pela expressão dada:
x_{1}^{\prime\prime}=-3x_{1}-2x_{2}+e^{-t}.
Substituímos x_{2} por x_{1}^{\prime} (porque x_{2}=x_{1}^{\prime}):
Identificar a parte homogênea e o termo de forçamento.
Explicação breve: Numa equação linear de segunda ordem, a “parte homogênea” é a equação obtida ao zerar o termo do lado direito (forçamento). O “termo de forçamento” (ou termo não-homogêneo) é o que fica no lado direito e provoca uma solução particular.
Resolver a parte homogênea: método dos coeficientes indeterminados via equação característica.
Explicação do método: para uma equação homogênea linear com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo \,x_{1}(t)=e^{rt}. Substituindo na EDO homogênea gera a equação polinomial (característica) para r. As raízes r determinam a forma da solução homogênea.
Encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método dos coeficientes indeterminados.
Estratégia: o lado direito é e^{-t}. Para esse tipo de forçamento (exponencial), tentamos uma solução particular da forma \,x_{1}^{(p)}(t)=A e^{-t}, com A constante. Antes de tentar, verificamos se e^{-t} faz parte das soluções homogêneas: as soluções homogêneas são e^{-t}\cos(\sqrt{2}t) e e^{-t}\sin(\sqrt{2}t), ou seja, e^{-t} isolado não é uma solução homogênea (não há ressonância de ordem 0), então a tentativa \,A e^{-t} é apropriada.