Uma pedra é atirada do telhado de um edifício de altura h com uma velocidade inicial de módulo v0, formando um ângulo theta acima da horizontal. Despreze a resistência do are considere g como o módulo da gravidade.
a. Escreva o vetor velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo, em termos dos vetores unitários.
b. Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao solo?
c. Escreva o vetor velocidade da pedra no ponto mais alto da trajetória, em termos de vetores unitários.
d. Qual o tempo total de lançamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre o movimento de uma pedra lançada de um prédio. A questão envolve conceitos de cinemática, especificamente movimento projetado. Para resolver, vamos precisar entender componentes vetoriais da velocidade, calcular alturas máximas e tempos de voo usando as fórmulas do movimento uniformemente variado.

Passo 2

Parte a: Escrever o vetor velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo.
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial $ v_0 $ em suas componentes horizontal e vertical:
v0
v0x = v0 cos(theta)
Durante a trajetória, a componente horizontal da velocidade ($ v_x $) permanece constante porque não há resistência do ar:
v0y = v0 sin(theta)
A componente vertical da velocidade ($ v_y vx àçã g $):
vx = v0x = v0 cos(theta)
No instante antes de atingir o solo, a velocidade vertical será negativa, já que a pedra está descendo.
Então, o vetor velocidade $ \vec{v} $ imediatamente antes de atingir o solo é:
vy

Passo 3

Parte b: Calcular a altura máxima atingida pela pedra em relação ao solo.
Para encontrar a altura máxima, primeiro encontramos o tempo que a pedra leva para atingir a altura máxima. Nesse ponto, a velocidade vertical é zero:
vy = v0 sin(theta) - g t = 0 Rightarrow t = v0 sin(theta)g
Agora, calculamos a altura máxima relativa ao ponto de lançamento:
hmáxima = h + v0y t - 12 g t^2 á
Substituindo $ t $:
t á
Simplificando:
hmáxima = h + v0 sin(theta) ( v0 sin(theta)g ) - 12 g ( v0 sin(theta)g )^2 á

Passo 4

Parte c: Escrever o vetor velocidade da pedra no ponto mais alto da trajetória.
No ponto mais alto, a velocidade vertical $ v_y $ é zero, então a velocidade é somente na horizontal:
vy

Passo 5

Parte d: Calcular o tempo total de lançamento.
Para encontrar o tempo total de voo, vamos resolver para quando a pedra atinge o solo ($ y = 0 $):
y = 0
Substituindo $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $:
h + v0y t - 12 g t^2 = 0
Multiplicando por -2 para simplificar:
v0y = v0 sin(theta)
Resolvendo a equação quadrática para $ t $:
-12 g t^2 + v0 sin(theta) t + h = 0

Resposta

a. v = v0 cos(theta) , i + (v0 sin(theta) - g t) , j
b. $ h_{máxima} = h + \frac{(v_0 \sin(\theta))^2}{2g} $
c. hmáxima = h + (v0 sin(theta))^22g
d. $ t = \frac{v_0 \sin(\theta) + \sqrt{v_0^2 \sin^2(\theta) + 2gh}}{g} $

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