Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de módulo e formando um ângulo (entre
e
) em relação a horizontal. Assuma que o projétil atinge o solo no mesmo nível em que foi lançado.
a. Determine a altura máxima que o projétil atinge.
b. Determine o alcance horizontal, ou seja, a distância entre o ponto inicial eo ponto onde o projétil atinge o solo.
c. Para um dado, qual valor de fornece altura máxima? Qual valor fornece o alcance máximo? Justifique sua resposta.
a. Determine a altura máxima que o projétil atinge.
b. Determine o alcance horizontal, ou seja, a distância entre o ponto inicial eo ponto onde o projétil atinge o solo.
c. Para um dado, qual valor de fornece altura máxima? Qual valor fornece o alcance máximo? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre lançamento de projétil! A gente vai trabalhar com conceitos de cinemática para entender como um projétil se movimenta quando lançado. Precisamos saber sobre velocidade inicial, ângulo de lançamento, altura máxima e alcance horizontal. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação: um projétil é lançado com uma velocidade inicial $ v_0 $ formando um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Como ele atinge o solo no mesmo nível do lançamento, podemos simplificar alguns cálculos.
Passo 3
a. Determinar a altura máxima que o projétil atinge.
Para encontrar a altura máxima, precisamos olhar apenas para a componente vertical da velocidade. Isso porque a altura máxima ocorre quando a velocidade vertical fica zero.
A componente vertical da velocidade inicial é:
Usamos a fórmula da altura máxima ($ h $):
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s² $).
Substituindo:
Passo 4
b. Determinar o alcance horizontal, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde o projétil atinge o solo.
O alcance horizontal ($ R $) depende tanto da velocidade inicial quanto do ângulo de lançamento. A fórmula para o alcance é:
Aqui, usamos $ \sin(2\theta) $ porque o tempo total de voo depende do ângulo dobrado devido à simetria do movimento.
Passo 5
c. Para um dado, qual valor de $ \theta $ fornece a altura máxima? Qual valor fornece o alcance máximo? Justifique sua resposta.
-
Altura máxima: Para maximizar a altura, queremos maximizar $ \sin(\theta) $. O valor máximo de $ \sin(\theta) $ é 1, que ocorre quando $ \theta = 90^{\circ} $. Isso faz sentido porque lançar o projétil diretamente para cima dá a maior altura possível.
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Alcance máximo: Para maximizar o alcance, queremos maximizar $ \sin(2\theta) $. O valor máximo de $ \sin(2\theta) $ também é 1, que ocorre quando $ 2\theta = 90^{\circ} $, ou seja, $ \theta = 45^{\circ} $. Isso significa que um ângulo de 45 graus proporciona o maior alcance horizontal.
Resposta
a. A altura máxima é $ h = \frac{(v_0 \cdot \sin(\theta))^2}{2g} $.
b. O alcance horizontal é $ R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} $.
c. Um ângulo de $ 90^{\circ} $ fornece a altura máxima, e um ângulo de $ 45^{\circ} $ fornece o alcance máximo.