Na situação de equilíbrio de uma junção p-n, a corrente de difusão criada pelo gradiente de concentração cancela a corrente de deriva devido ao gradiente de potencial, tanto para elétrons como para buracos. Este equilíbrio, para os buracos, é expresso pela equação
Faça a integral desta equação em uma dimensão e utilizando a relação de Einstein obtenha a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma junção p-n em equilíbrio, onde a corrente de difusão dos buracos é igual e oposta à corrente de deriva devido ao gradiente de potencial. A equação que descreve esse equilíbrio para os buracos é:
Aqui,
é a mobilidade dos buracos,
é o coeficiente de difusão,
é o potencial elétrico, e
é a concentração de buracos em equilíbrio. Nosso objetivo é integrar essa equação em uma dimensão e usar a relação de Einstein para chegar na expressão do potencial de equilíbrio
:
Vamos precisar entender como integrar a equação dada e aplicar a relação de Einstein, que conecta mobilidade e difusão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para uma dimensão. Suponha que a variação ocorra apenas ao longo do eixo x, então podemos escrever:
Aqui, substituímos o operador gradiente
por derivadas em relação a x, já que estamos considerando uma dimensão.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a integração. Multiplicamos ambos os lados por
:
Essa forma nos permite integrar ambos os lados em relação às variáveis correspondentes.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados da equação:
A integral do lado esquerdo fica:
E a integral do lado direito fica:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 5
Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante
:
Para simplificar, rearranjamos a equação:
Passo 6
Agora, precisamos introduzir a relação de Einstein, que relaciona mobilidade (
) e coeficiente de difusão (
):
Onde
é a constante de Boltzmann,
é a temperatura e
é a carga elementar.
Aplicando isso para os buracos:
Então:
Passo 7
Substituindo
na equação anterior:
Rearranjando para isolar
:
Chamando
de
, que representa o potencial de equilíbrio, temos:
Passo 8
Considerando que na junção p-n os níveis de concentração de buracos de cada lado são
e
, podemos escrever a diferença de potencial
como: