Na situação de equilíbrio de uma junção p-n, a corrente de difusão criada pelo gradiente de concentração cancela a corrente de deriva devido ao gradiente de potencial, tanto para elétrons como para buracos. Este equilíbrio, para os buracos, é expresso pela equação
mupDp nabla varphi=-1p0 nabla p0
Faça a integral desta equação em uma dimensão e utilizando a relação de Einstein obtenha a equação V0=kB Te ln pp 0pn 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com uma junção p-n em equilíbrio, onde a corrente de difusão dos buracos é igual e oposta à corrente de deriva devido ao gradiente de potencial. A equação que descreve esse equilíbrio para os buracos é:
mupDp nabla varphi = -1p0 nabla p0
Aqui, mup é a mobilidade dos buracos, Dp é o coeficiente de difusão, varphi é o potencial elétrico, e p0 é a concentração de buracos em equilíbrio. Nosso objetivo é integrar essa equação em uma dimensão e usar a relação de Einstein para chegar na expressão do potencial de equilíbrio V0:
V0 = kB Te ln pp0pn0
Vamos precisar entender como integrar a equação dada e aplicar a relação de Einstein, que conecta mobilidade e difusão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para uma dimensão. Suponha que a variação ocorra apenas ao longo do eixo x, então podemos escrever:
mupDp dvarphidx = -1p0 dp0dx
Aqui, substituímos o operador gradiente nabla por derivadas em relação a x, já que estamos considerando uma dimensão.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para facilitar a integração. Multiplicamos ambos os lados por dx:
mupDp dvarphi = -1p0 dp0
Essa forma nos permite integrar ambos os lados em relação às variáveis correspondentes.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados da equação:
integral mupDp dvarphi = -integral 1p0 dp0
A integral do lado esquerdo fica:
mupDp varphi + C1
E a integral do lado direito fica:
- ln p0 + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante C:
mupDp varphi = - ln p0 + C
Para simplificar, rearranjamos a equação:
ln p0 = -mupDp varphi + C

Passo 6

Agora, precisamos introduzir a relação de Einstein, que relaciona mobilidade ( mu) e coeficiente de difusão ( D):
D = kB Te mu
Onde kB é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e e é a carga elementar.
Aplicando isso para os buracos:
Dp = kB Te mup
Então:
mupDp = ekB T

Passo 7

Substituindo mupDp na equação anterior:
ln p0 = -ekB T varphi + C
Rearranjando para isolar varphi:
varphi = -kB Te ln p0 + kB Te C
Chamando kB Te C de V0, que representa o potencial de equilíbrio, temos:
varphi = kB Te ln 1p0 + V0

Passo 8

Considerando que na junção p-n os níveis de concentração de buracos de cada lado são pp0 e pn0, podemos escrever a diferença de potencial V0 como:
V0 = kB Te ln pp0pn0

Resposta

V0 = kB Te ln pp0pn0

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