Situação 4 (2,0 pontos): Escreva uma equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas:
r: y=x+1 s:l x=2+t y=6+2 t ; t in R t: 2 x+y=3

Passo 1

O enunciado pede a equação da circunferência que passa pelos três pontos de interseção das retas
O conteúdo principal é geometria analítica: primeiro encontramos as interseções duas a duas, depois determinamos a circunferência que passa por esses três pontos usando a forma geral

Passo 2

Interseção P de r e s. Em s temos x=2+t e y=6+2t. Igualando a y=x+1:
6+2t = (2+t)+1 ;Longrightarrow;6+2t = 3 + t ;Longrightarrow;t=-3
Logo
P = (2-3,;6+2cdot(-3)) = (-1,0)

Passo 3

Interseção Q de r e t. Substituindo y=x+1 em 2x+y=3:
2x + (x+1) = 3 ;Longrightarrow;3x+1=3;Longrightarrow;x=tfrac23, y=tfrac23+1=tfrac53
Logo
Q = l(tfrac23,,tfrac53r)

Passo 4

Interseção R de s e t. Em s, x=2+t, y=6+2t. Substituindo em 2x+y=3:
2(2+t)+(6+2t)=3;Longrightarrow;4+2t+6+2t=3;Longrightarrow;4t=-7;Longrightarrow;t=-tfrac74
Assim
R = l(2-tfrac74,;6+2cdot(-tfrac74)r) = l(tfrac14,,tfrac52r)

Passo 5

Usamos a forma geral da circunferência
x^2+y^2 + D,x + E,y + F = 0
e impomos que (x,y)=P,Q,R satisfaçam essa equação.
Para P(-1,0):
(-1)^2+0^2 + Dcdot(-1) + Ecdot0 + F = 0 ;Longrightarrow;1 - D + F = 0 ;Longrightarrow;F = D - 1

Passo 6

Para Ql(tfrac23,tfrac53r):
l(tfrac23r)^2 + l(tfrac53r)^2 + D!cdot!tfrac23 + E!cdot!tfrac53 + F = 0
Como tfrac49+tfrac259=tfrac299, multiplicando tudo por 9:
29 + 6D + 15E + 9F = 0

Passo 7

Para Rl(tfrac14,tfrac52r):
l(tfrac14r)^2 + l(tfrac52r)^2 + D!cdot!tfrac14 + E!cdot!tfrac52 + F = 0
Aqui tfrac116+tfrac254=tfrac10116. Multiplicando tudo por 16:
101 + 4D + 40E + 16F = 0

Passo 8

Substituímos F=D-1 nas duas últimas equações:
(1) 29 + 6D +15E +9(D-1)=0 e
(2) 101 +4D +40E +16(D-1)=0.
Da primeira vem
15D +15E = -20 ;Longrightarrow;D+E = -tfrac43
Da segunda vem
20D +40E = -85 ;Longrightarrow;4D+8E = -17
Resolvendo esse sistema:
D = tfrac1912, E = -tfrac3512, F = D-1 = tfrac712

Passo 9

Portanto a equação da circunferência é
x^2 + y^2 + tfrac1912,x - tfrac3512,y + tfrac712 = 0,
ou, multiplicando tudo por 12,
boxed12x^2 ;+;12y^2 ;+;19x ;-;35y ;+;7 ;=;0

Resposta

12x^2 + 12y^2 + 19x - 35y + 7 = 0

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