Calcule a integral iterada.
integral0^3 integral0^raizy-x arctg yx d y d x
pela conversảo para coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^3integral0^raiz9 - x^2arctan!gl(yxgr),dy,dx
por conversão para coordenadas polares.
Aqui o conteúdo é mudança de variável em integrais duplas e a ideia é reconhecer que a região
(x,y)mid 0<= x<= 3,;0<= y<=raiz9-x^2
é o quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
de modo que a região fica
0<= r<= 3, 0<= theta<= pi2
O Jacobiano da transformação é r, ou seja, dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 3

No integrando temos
arctan!gl(yxgr) =arctan!l(tanthetar) =theta (0<=theta<=tfracpi2)
Assim a integral torna-se
integraltheta=0^pi/2!integralr=0^3theta;r,dr,dtheta

Passo 4

Calcule primeiro a integral em r:
integral0^3r,dr =gl[r^22gr]0^3 =92
Logo a integral fica
92integral0^pi/2theta,dtheta

Passo 5

Agora a integral em theta:
integral0^pi/2theta,dtheta =gl[theta^22gr]0^pi/2 =12l(pi2r)^2 =pi^28
Multiplicando pelo fator tfrac92 obtemos
92cdotpi^28 =9pi^216

Resposta

integral0^3integral0^raiz9 - x^2arctan!gl(yxgr),dy,dx =9pi^216

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