Situação 4 ( 4,0 pontos): Sejam:
\begin{gathered} f(x, y)=\operatorname{sen}(2 x+3 y) \\\ P=(-6 ; 4) \\\ u=\frac{1}{2}(\sqrt{3} i-j) \end{gathered}
a) ( 1,0 ponto) Determine o gradiente de f;
b) ( 1,0 ponto) Calcule o gradiente no ponto P;
c) ( 1,0 ponto) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u;
d) ( 1,0 ponto) Qual é a máxima taxa de variação?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede quatro coisas.
Dados:
f(x,y)=\operatorname{sen}(2x+3y)
P=(-6,4)
u=\tfrac{1}{2}(\sqrt{3}\,i - j)
Perguntas:
(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
(d) Qual é a máxima taxa de variação em P?

Passo 2

O que é o gradiente e como calculamos: o gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor que reúne as derivadas parciais de f. Formalmente,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Isto significa que para achar \nabla f precisamos calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Vou explicar as derivadas parciais de forma simples: quando calculamos \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos em relação a x; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=\operatorname{sen}(2x+3y).
Para \frac{\partial f}{\partial x}: dentro do seno temos a função 2x+3y. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(t) em relação a t é \cos(t), e depois multiplicamos pela derivada de t=2x+3y em relação a x, que é 2. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=2\cos(2x+3y).
Para \frac{\partial f}{\partial y}: mesma ideia, derivamos \operatorname{sen}(2x+3y) em relação a y. A derivada de 2x+3y em relação a y é 3. Assim,
\frac{\partial f}{\partial y}=3\cos(2x+3y).

Passo 4

Juntando as parciais obtemos o gradiente geral:
\nabla f(x,y)=\bigl(2\cos(2x+3y),\;3\cos(2x+3y)\bigr).
Isto responde a letra (a).

Passo 5

Agora vamos avaliar o gradiente no ponto P=(-6,4). Primeiro calculemos o argumento do cosseno em P:
2x+3y\Big|_{(-6,4)}=2(-6)+3(4)=-12+12=0.
Sabemos que \cos(0)=1. Substituindo em \nabla f,
\nabla f(-6,4)=\bigl(2\cdot 1,\;3\cdot 1\bigr)=(2,3).
Isto responde a letra (b).

Passo 6

Para a taxa de variação de f em P na direção do vetor u usamos a definição da derivada direcional: se \mathbf{u} é um vetor unitário, a taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente em P e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u}.
Primeiro vamos escrever as componentes de u. Dado
u=\tfrac{1}{2}(\sqrt{3}\,i - j),
temos
\mathbf{u}=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},\; -\tfrac{1}{2}\right).

Passo 7

Verifiquemos que \mathbf{u} é unitário (isto é importante porque a fórmula acima exige vetor unitário). O módulo é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{1}=1.
Logo \mathbf{u} já é unitário — perfeito, podemos usar diretamente a fórmula.

Passo 8

Agora calculemos o produto escalar entre \nabla f(P)=(2,3) e \mathbf{u}=\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac{1}{2}\right):
D_{\mathbf{u}}f(P)=2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}+3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\sqrt{3}-\tfrac{3}{2}.
Isto responde a letra (c).

Passo 9

Qual é a máxima taxa de variação em P? Teorema importante (explicação rápida): a taxa de variação máxima de f em um ponto ocorre na direção do gradiente naquele ponto, e o valor máximo é o módulo do gradiente. Assim a máxima taxa vale \|\nabla f(P)\|.
Calculamos o módulo de \nabla f(P)=(2,3):
\|\nabla f(P)\|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Isto responde a letra (d).

Resposta

(a) \nabla f(x,y)=\bigl(2\cos(2x+3y),\;3\cos(2x+3y)\bigr)
(b) \nabla f(-6,4)=(2,3)
(c) D_{u}f(-6,4)=\sqrt{3}-\tfrac{3}{2}
(d) máxima taxa de variação =\sqrt{13}

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