a) ( 1,0 ponto) Determine o gradiente de f;
b) ( 1,0 ponto) Calcule o gradiente no ponto P;
c) ( 1,0 ponto) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u;
d) ( 1,0 ponto) Qual é a máxima taxa de variação?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede quatro coisas.
Dados:
f(x,y)=\operatorname{sen}(2x+3y)
P=(-6,4)
u=\tfrac{1}{2}(\sqrt{3}\,i - j)
Perguntas:
(a) Determine o gradiente de f.
(b) Calcule o gradiente no ponto P.
(c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u.
(d) Qual é a máxima taxa de variação em P?
Passo 2
O que é o gradiente e como calculamos: o gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor que reúne as derivadas parciais de f. Formalmente,
Isto significa que para achar \nabla f precisamos calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}. Vou explicar as derivadas parciais de forma simples: quando calculamos \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos em relação a x; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=\operatorname{sen}(2x+3y).
Para \frac{\partial f}{\partial x}: dentro do seno temos a função 2x+3y. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(t) em relação a t é \cos(t), e depois multiplicamos pela derivada de t=2x+3y em relação a x, que é 2. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=2\cos(2x+3y).
Para \frac{\partial f}{\partial y}: mesma ideia, derivamos \operatorname{sen}(2x+3y) em relação a y. A derivada de 2x+3y em relação a y é 3. Assim,
Para a taxa de variação de f em P na direção do vetor u usamos a definição da derivada direcional: se \mathbf{u} é um vetor unitário, a taxa de variação de f em P na direção de \mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente em P e \mathbf{u}:
Qual é a máxima taxa de variação em P? Teorema importante (explicação rápida): a taxa de variação máxima de f em um ponto ocorre na direção do gradiente naquele ponto, e o valor máximo é o módulo do gradiente. Assim a máxima taxa vale \|\nabla f(P)\|.