1. Sob a ação de uma força F=12-2 t uma partícula parte do repouso na origem e se desloca ao longo do eixo dos x. Em que instante estará ela novamente na origem?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula parte do repouso em x=0 sob a ação de uma força ,F(t)=12-2t. Queremos saber em que instante t>0 ela volta a ter x=0. O conteúdo aqui é aplicação da segunda lei de Newton ,F=ma e integração de aceleração para obter velocidade e posição.

Passo 2

Usando a segunda lei de Newton temos
m,a(t)=F(t)=12-2t,
logo a aceleração é
a(t)=F(t)m=12-2tm
Note que o valor de m não altera o instante não-nulo em que x=0, pois ele surgiria como fator comum no deslocamento.

Passo 3

Para achar a velocidade, integramos a aceleração e usamos v(0)=0:
v(t)=integral0^ta(tau),dtau =integral0^t12-2taum,dtau =1ml[12tau-tau^2r]0^t =12t - t^2m

Passo 4

Agora integramos a velocidade para obter a posição, sabendo que x(0)=0:
x(t)=integral0^tv(tau),dtau =integral0^t12tau-tau^2m,dtau =1ml[6tau^2-tfractau^33r]0^t =6t^2-tfract^33m

Passo 5

Para retornar à origem queremos x(t)=0. Isso dá
6t^2-tfract^33m=0 Longrightarrow t^2l(6-tfract3r)=0
As soluções são t=0 (início) e
6-tfract3=0 Longrightarrow t=18

Resposta

Em t=18 segundos a partícula estará novamente na origem.

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