Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo com a equação
p(t)=11+alpha e^-k t
onde p(t) é a proporção da população que já ouviu o boato no tempo t e alpha e k são constantes positivas. Encontre log x infty p(t) e interprete sua resposta nos termos do problema.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um modelo de propagação de boato dado por p(t)=11+alpha e^-k t, onde p(t) é a fração da população que já ouviu o boato no tempo t e alpha, k>0. O que precisamos é calcular limttoinftyp(t) e interpretar esse resultado no contexto do problema.

Passo 2

Para achar o limite, observamos como se comporta e^-k t quando ttoinfty. Como k>0, temos
limttoinftye^-k t=0

Passo 3

Substituindo esse valor em p(t), vem:
limttoinftyp(t)=limttoinfty11+alpha e^-k t=11+alphacdot 0=1

Passo 4

Interpretação: O limite igual a 1 significa que, conforme o tempo cresce indefinidamente, a proporção da população que já ouviu o boato tende a 100%. Em outras palavras, eventualmente todo mundo acaba sabendo do boato.

Resposta

limttoinftyp(t)=1. Isto significa que, no longo prazo, o boato alcança toda a população.

Exercícios relacionados