Sob certas condições, uma população de coelhos aumenta em 10% a cada hora. Supondo que estas condições se mantenham, em quanto tempo a população dobra?

Passo 1

O enunciado dá que a população de coelhos cresce 10\% a cada hora e pede em quanto tempo a população dobra, supondo que essa taxa se mantenha. Informações relevantes:
  • Aumento por hora: 10\%, ou seja, fator multiplicativo por hora igual a 1+0,10=1,10.
  • Procuramos o tempo t (em horas) tal que a população final seja o dobro da inicial.

Passo 2

Modelagem matemática (passo a passo, sem pular):
  • Seja P_0 a população inicial e P(t) a população após t horas.
  • Como a cada hora multiplica por 1,10, o modelo discreto-exponencial é
P(t)=P_0\,(1,10)^{t}.
Aqui t pode ser tratado como número real para permitir frações de hora (interpretação: crescimento contínuo com taxa equivalente por hora); se preferir só inteiros, busca-se o menor inteiro t com P(t)\ge 2P_0, mas normalmente usamos a equação com expoente real para achar o tempo exato de duplicação.

Passo 3

Montar a equação da duplicação e simplificar:
  • Queremos P(t)=2P_0. Substituindo o modelo,
P_0\,(1,10)^{t}=2P_0.
  • Cancelando P_0 (assumindo P_0>0),
(1,10)^{t}=2.

Passo 4

Resolver a equação exponencial usando logaritmos (aqui ensino o que é e a propriedade usada):
  • Definição útil: o logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Usarei o logaritmo natural \ln, mas qualquer base daria o mesmo resultado via mudança de base.
  • Propriedade fundamental: \ln(a^{b})=b\ln(a).
  • Aplicando \ln aos dois lados de (1,10)^{t}=2,
t\ln(1,10)=\ln(2).
  • Isolando t,
t=\frac{\ln(2)}{\ln(1,10)}.

Passo 5

Calcular numericamente sem depender unicamente de calculadora — uso uma aproximação para \ln(1,10):
  • Valor conhecido: \ln(2)\approx 0,693147.
  • Para \ln(1+x) com x=0,1 podemos usar a série \ln(1+x)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{4}}{4}+\cdots. Com x=0,1: \ln(1,1)\approx 0,1-\dfrac{0,1^{2}}{2}+\dfrac{0,1^{3}}{3}-\dfrac{0,1^{4}}{4}+\dfrac{0,1^{5}}{5}\approx 0,1-0,005+0,0003333-0,000025+0,000002
\ln(1,1)\approx 0,0953103\\ (\text{aproximação muito boa}).çã
  • Agora dividimos: t\approx\frac{0,693147}{0,0953103}\approx 7,2725\\ \text{horas}.
  • Converter a parte decimal em minutos e segundos:
    • Parte inteira: 7 horas.
    • Parte fracionária: 0,2725 horas \times 60 \approx 16,35 minutos.
    • Minutos inteiros: 16 minutos.
    • Segundos: 0,35 minuto \times 60 \approx 21 segundos.
      Portanto t\approx 7\\ \text{h}\\\ 16\\ \text{min}\\\ 21\\ \text{s}.

Passo 6

Checagem rápida usando a regra prática “Regra dos 70” (apenas para estimativa rápida na prova):
  • Regra: tempo de duplicação aproximado \approx \dfrac{70}{\text{taxa percentual}}.
  • Aqui \dfrac{70}{10}=7 horas, que está bem próximo do valor exato 7,27 h — bom sanity check rápido na prova se estiver sem calculadora.

Passo 7

Resumo didático e incentivo:
  • O raciocínio essencial é reconhecer crescimento geométrico com fator 1,10 por hora, montar (1,10)^{t}=2 e usar logaritmo para isolar t.
  • Não se assuste com logaritmos: memorizando \ln(2)\approx 0,693 e sabendo aproximar \ln(1+x) para pequenos x (ou usando logaritmos comuns se tiver calculadora), dá para resolver rápido.
  • Você já tem o resultado numérico e uma estimativa rápida para conferir na prova — vai dar certo, confia!

Resposta

t\approx 7,27\\ \text{horas}
t\approx 7\\ \text{h}\\\ 16\\ \text{min}\\\ 21\\ \text{s}

Exercícios relacionados