Sob certas condições, uma população de coelhos aumenta em 10% a cada hora. Supondo que estas condições se mantenham, em quanto tempo a população dobra?
Passo 1
O enunciado dá que a população de coelhos cresce
a cada hora e pede em quanto tempo a população dobra, supondo que essa taxa se mantenha. Informações relevantes:
- Aumento por hora:
, ou seja, fator multiplicativo por hora igual a . - Procuramos o tempo
(em horas) tal que a população final seja o dobro da inicial.
Passo 2
Modelagem matemática (passo a passo, sem pular):
- Seja
a população inicial e a população após horas. - Como a cada hora multiplica por
, o modelo discreto-exponencial é
Aqui
pode ser tratado como número real para permitir frações de hora (interpretação: crescimento contínuo com taxa equivalente por hora); se preferir só inteiros, busca-se o menor inteiro
com
, mas normalmente usamos a equação com expoente real para achar o tempo exato de duplicação.
Passo 3
Montar a equação da duplicação e simplificar:
- Queremos
. Substituindo o modelo,
- Cancelando
(assumindo ),
Passo 4
Resolver a equação exponencial usando logaritmos (aqui ensino o que é e a propriedade usada):
- Definição útil: o logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Usarei o logaritmo natural
, mas qualquer base daria o mesmo resultado via mudança de base. - Propriedade fundamental:
. - Aplicando
aos dois lados de ,
- Isolando
,
Passo 5
Calcular numericamente sem depender unicamente de calculadora — uso uma aproximação para
:
- Valor conhecido:
. - Para
com podemos usar a série . Com :
- Agora dividimos:
- Converter a parte decimal em minutos e segundos:
- Parte inteira:
horas. - Parte fracionária:
horas minutos. - Minutos inteiros:
minutos. - Segundos:
minuto segundos.
Portanto.
- Parte inteira:
Passo 6
Checagem rápida usando a regra prática “Regra dos 70” (apenas para estimativa rápida na prova):
- Regra: tempo de duplicação aproximado
. - Aqui
horas, que está bem próximo do valor exato h — bom sanity check rápido na prova se estiver sem calculadora.
Passo 7
Resumo didático e incentivo:
- O raciocínio essencial é reconhecer crescimento geométrico com fator
por hora, montar e usar logaritmo para isolar . - Não se assuste com logaritmos: memorizando
e sabendo aproximar para pequenos (ou usando logaritmos comuns se tiver calculadora), dá para resolver rápido. - Você já tem o resultado numérico e uma estimativa rápida para conferir na prova — vai dar certo, confia!