Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
c=e^{x \ln (x)} para x>0

Passo 1

O enunciado dá a expressão c=e^{x \ln (x)} com a condição x>0 e pede para simplificá-la usando propriedades das funções exponencial e logaritmo.
Informações relevantes:
  • A expressão original é c=e^{x \ln (x)}.
  • Foi dada a restrição x>0 (importante porque \ln(x) só está definida para x>0).
  • Objetivo: escrever c numa forma mais simples, usando identidades conhecidas de e^{(\cdot)} e \ln(\cdot).

Passo 2

Relembrando propriedades essenciais (explicadas devagarinho):
  • A função exponencial e o logaritmo natural são funções inversas quando o argumento do logaritmo é positivo, isto é,
e^{\ln(y)} = y\quad\text{para }y>0,
e
\ln(e^{t}) = t\quad\text{para qualquer }t\in\mathbb{R}.
Expliquei: isso significa que aplicar \ln e depois e^{(\cdot)} (ou vice‑versa) volta ao valor original, desde que o argumento do \ln seja positivo.
  • Outra identidade muito útil (que já resume a relação entre potências e exponencial) é
a^{b} = e^{b \ln(a)}\quad\text{para }a>0.
Expliquei: essa fórmula é a definição conveniente de potenciação quando a base e/ou expoente variam; ela mostra que potências podem ser tratadas com exponenciais e logaritmos.

Passo 3

Aplicando as propriedades à expressão dada. Parto da expressão
c = e^{x \ln(x)}.
Uso a propriedade de potência-exponencial no sentido inverso: como e^{ab}=(e^{a})^{b}, posso escrever
e^{x \ln(x)} = \bigl(e^{\ln(x)}\bigr)^{x}.
Agora uso a propriedade inversa e^{\ln(x)}=x (válida porque x>0):
\bigl(e^{\ln(x)}\bigr)^{x} = x^{x}.
Portanto a expressão simplifica-se para x^{x}.

Passo 4

Interpretação e verificação com exemplos numéricos (para fixar a ideia):
  • Se x=2, então
c = e^{2\ln 2} = 2^{2} = 4.
  • Se x=\tfrac{1}{2}, então
c = e^{\tfrac{1}{2}\ln(\tfrac{1}{2})} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Esses exemplos confirmam que a igualdade e^{x\ln x}=x^{x} funciona na prática.

Passo 5

Observação sobre domínio: a simplificação e^{x\ln x}=x^{x} exige x>0 porque \ln(x) só está definida para x>0. Para x\le 0 o logaritmo real não existe e a expressão não está definida no conjunto dos reais (poder-se-ia estender usando logaritmo complexo, mas isso foge do escopo).

Resposta

x^{x}

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