Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
para
Passo 1
O enunciado dá a expressão
com a condição
e pede para simplificá-la usando propriedades das funções exponencial e logaritmo.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A expressão original é
. - Foi dada a restrição
(importante porque só está definida para ). - Objetivo: escrever
numa forma mais simples, usando identidades conhecidas de e .
Passo 2
Relembrando propriedades essenciais (explicadas devagarinho):
- A função exponencial e o logaritmo natural são funções inversas quando o argumento do logaritmo é positivo, isto é,
e
Expliquei: isso significa que aplicar
e depois
(ou vice‑versa) volta ao valor original, desde que o argumento do
seja positivo.
- Outra identidade muito útil (que já resume a relação entre potências e exponencial) é
Expliquei: essa fórmula é a definição conveniente de potenciação quando a base e/ou expoente variam; ela mostra que potências podem ser tratadas com exponenciais e logaritmos.
Passo 3
Aplicando as propriedades à expressão dada. Parto da expressão
Uso a propriedade de potência-exponencial no sentido inverso: como
, posso escrever
Agora uso a propriedade inversa
(válida porque
):
Portanto a expressão simplifica-se para
.
Passo 4
Interpretação e verificação com exemplos numéricos (para fixar a ideia):
- Se
, então
- Se
, então
Esses exemplos confirmam que a igualdade
funciona na prática.
Passo 5
Observação sobre domínio: a simplificação
exige
porque
só está definida para
. Para
o logaritmo real não existe e a expressão não está definida no conjunto dos reais (poder-se-ia estender usando logaritmo complexo, mas isso foge do escopo).