Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
d=e^{\left[\ln \left(e^{x}+x\right)\right] / x} para x>0.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
d = e^{\left[\ln\left(e^{x}+x\right)\right]/x}
com a condição x>0. A tarefa é simplificar d usando propriedades das funções exponencial e logarítmica. Informação relevante fornecida:
  • A expressão dentro do logaritmo é e^{x}+x.
  • Foi informado que x>0, então e^{x}+x>0 (portanto \ln(e^{x}+x) está bem definida).

Passo 2

Relembrando duas propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Para quaisquer números reais a e b,
e^{a b} = \left(e^{a}\right)^{b}.
Isto é porque elevar e a a b é o mesmo que primeiro elevar e a a e depois elevar o resultado à potência b.
  • Para qualquer número positivo u>0,
e^{\ln(u)}=u.
Isto vem do fato de que a exponencial é a função inversa do logaritmo natural.
Vou usar essas duas regras passo a passo.

Passo 3

Escreve-se o expoente \dfrac{\ln(e^{x}+x)}{x} como um produto:
\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x} = \left(\ln\left(e^{x}+x\right)\right)\cdot\frac{1}{x}.
Aplicando a propriedade e^{a b} = (e^{a})^{b} com a=\ln(e^{x}+x) e b=\dfrac{1}{x}, obtemos
d = e^{\left(\ln\left(e^{x}+x\right)\right)\cdot\frac{1}{x}} = \left(e^{\ln\left(e^{x}+x\right)}\right)^{1/x}.

Passo 4

Agora uso e^{\ln(u)}=u com u=e^{x}+x (válido porque e^{x}+x>0 para x>0). Assim
\left(e^{\ln\left(e^{x}+x\right)}\right)^{1/x} = \left(e^{x}+x\right)^{1/x}.
Portanto a expressão simplificada é
d = \left(e^{x}+x\right)^{1/x}.

Passo 5

Uma forma alternativa útil, obtida fatorando e^{x} dentro do parêntese, é:
e^{x}+x = e^{x}\!\left(1 + x e^{-x}\right).
Aplicando a potência 1/x ao produto:
\left(e^{x}+x\right)^{1/x} = \left(e^{x}\right)^{1/x}\left(1 + x e^{-x}\right)^{1/x} = e\left(1 + x e^{-x}\right)^{1/x}.
Essa forma pode ser prática para análises (por exemplo, limites quando x\to\infty), mas é equivalente à anterior.

Passo 6

Resumo didático do raciocínio que deves lembrar para a prova:
  • Reescreve o expoente como produto para aplicar e^{a b}=(e^{a})^{b}.
  • Usa e^{\ln(u)}=u sempre que o argumento do logaritmo for positivo.
  • Se necessário, fatorar termos (como e^{x}) pode fornecer formas alternativas mais manuseáveis.

Resposta

\left(e^{x}+x\right)^{1/x}

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