Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
para
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
com a condição
. A tarefa é simplificar
usando propriedades das funções exponencial e logarítmica. Informação relevante fornecida:
- A expressão dentro do logaritmo é
. - Foi informado que
, então (portanto está bem definida).
Passo 2
Relembrando duas propriedades fundamentais que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Para quaisquer números reais
e ,
Isto é porque elevar
a
é o mesmo que primeiro elevar
a
e depois elevar o resultado à potência
.
- Para qualquer número positivo
,
Isto vem do fato de que a exponencial é a função inversa do logaritmo natural.
Vou usar essas duas regras passo a passo.
Passo 3
Escreve-se o expoente
como um produto:
Aplicando a propriedade
com
e
, obtemos
Passo 4
Agora uso
com
(válido porque
para
). Assim
Portanto a expressão simplificada é
Passo 5
Uma forma alternativa útil, obtida fatorando
dentro do parêntese, é:
Aplicando a potência
ao produto:
Essa forma pode ser prática para análises (por exemplo, limites quando
), mas é equivalente à anterior.
Passo 6
Resumo didático do raciocínio que deves lembrar para a prova:
- Reescreve o expoente como produto para aplicar
. - Usa
sempre que o argumento do logaritmo for positivo. - Se necessário, fatorar termos (como
) pode fornecer formas alternativas mais manuseáveis.