Sob quais condições para as constantes
a equação
é exata? Resolva então a equação exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir sob quais condições as constantes
fazem a equação
ser exata. Depois, a gente precisa resolver essa equação exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se satisfizer a condição:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas derivadas devem ser iguais:
Passo 4
Observamos que
. Para que isso seja válido para todos os valores de
, precisamos que
e
. Portanto, as condições para que a equação seja exata são:
Passo 5
Com
e
, a equação fica:
Essa é uma equação diferenciável de primeira ordem. Para resolver, podemos separar as variáveis:
Resposta
As constantes
e
devem ser iguais a zero, ou seja,
e
. Sob essas condições, a solução da equação exata é
.