Sob quais condições para as constantes A, B, C, D a equação A x + B y + (C x + D y) y = 0 é exata? Resolva então a equação exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir sob quais condições as constantes fazem a equação ser exata. Depois, a gente precisa resolver essa equação exata. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma é exata se satisfizer a condição:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Para a equação ser exata, essas derivadas devem ser iguais:

Passo 4

Observamos que . Para que isso seja válido para todos os valores de , precisamos que e . Portanto, as condições para que a equação seja exata são:

Passo 5

Com e , a equação fica:
Essa é uma equação diferenciável de primeira ordem. Para resolver, podemos separar as variáveis:

Resposta

As constantes e devem ser iguais a zero, ou seja, e . Sob essas condições, a solução da equação exata é .

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