Calcule as integrais triplas abaixo:
(g) integral triplaW x y z d V, onde W é o sólido limitado pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=8-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaW x y z , dV, onde W é o sólido limitado pelos paraboloides z = x^2 + y^2 e z = 8 - x^2 - y^2. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais triplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região W. Temos dois paraboloides:
  1. Paraboloide de base para cima: z = x^2 + y^2
  2. Paraboloide de base para baixo: z = 8 - x^2 - y^2
A região W é onde esses dois paraboloides se encontram. Para visualizar, imagine dois “tacos” de sorvete se encontrando; um indo para cima e outro para baixo.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Isso porque os paraboloides têm simetria circular, e as coordenadas cilíndricas simplificam as equações.
Nas coordenadas cilíndricas:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • z = z
  • O elemento de volume é dV = r , dz , dr , dtheta
Além disso, a função f(x, y, z) = x y z se transforma em:
f(r, theta, z) = (r cos theta)(r sin theta) z = r^2 cos theta sin theta , z

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração.
Primeiro, encontramos a interseção dos dois paraboloides:
x^2 + y^2 = 8 - x^2 - y^2 Rightarrow 2x^2 + 2y^2 = 8 Rightarrow x^2 + y^2 = 4
Em coordenadas cilíndricas, isso significa r^2 = 4 Rightarrow r = 2.
Então, os limites são:
  • theta: de 0 a 2pi (completando o círculo)
  • r: de 0 a 2
  • z: de z = r^2 (parte de baixo) até z = 8 - r^2 (parte de cima)

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaW x y z , dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^8 - r^2 r^2 cos theta sin theta , z cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^8 - r^2 r^3 cos theta sin theta , z , dz , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a z primeiro:
integralr^2^8 - r^2 z , dz = [ 12 z^2 ]r^2^8 - r^2 = 12 ( (8 - r^2)^2 - (r^2)^2 )
Substituindo de volta na integral:
12 integral0^2pi integral0^2 r^3 cos theta sin theta ( (8 - r^2)^2 - r^4 ) dr , dtheta
Observamos que a função cos theta sin theta é ímpar em relação a theta no intervalo 0 a 2pi, o que resulta em integração igual a zero.

Resposta

A integral tripla integral triplaW x y z , dV sobre a região W é igual a 0.

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