Calcule as integrais triplas abaixo:
(g)
, onde
é o sólido limitado pelos parabolóides
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelos paraboloides
e
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais triplas e mudanças de coordenadas para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos dois paraboloides:
- Paraboloide de base para cima:
- Paraboloide de base para baixo:
A região
é onde esses dois paraboloides se encontram. Para visualizar, imagine dois “tacos” de sorvete se encontrando; um indo para cima e outro para baixo.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Isso porque os paraboloides têm simetria circular, e as coordenadas cilíndricas simplificam as equações.
Nas coordenadas cilíndricas:
-
-
-
- O elemento de volume é
Além disso, a função
se transforma em:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração.
Primeiro, encontramos a interseção dos dois paraboloides:
Em coordenadas cilíndricas, isso significa
.
Então, os limites são:
-
: de a (completando o círculo) -
: de a -
: de (parte de baixo) até (parte de cima)
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Substituindo de volta na integral:
Observamos que a função
é ímpar em relação a
no intervalo
a
, o que resulta em integração igual a zero.
Resposta
A integral tripla
sobre a região
é igual a 0.