Determine e esboce o domínio e a imagem das funções. f(x, y) = raiz(1 - x^2) - raiz(1 - y^2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar e esboçar o domínio e a imagem da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, especialmente como encontrar onde a função está “valendo” (domínio) e quais são os possíveis resultados que ela pode dar (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Como temos raízes quadradas na função, precisamos garantir que o que está dentro delas seja não negativo, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.

Passo 3

Então, vamos analisar as condições para que as expressões dentro das raízes sejam maiores ou iguais a zero:
Isso significa que:

Passo 4

Resolvendo essas desigualdades, temos:
Portanto, o domínio da função é o conjunto de todos os pares onde e estão entre -1 e 1.

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir. Para isso, precisamos entender o que acontece com e dentro das restrições do domínio.

Passo 6

Sabemos que:
Então, a diferença pode variar entre -1 e 1. O valor máximo ocorre quando e , dando . O valor mínimo ocorre quando e , dando .

Resposta

A imagem da função é o intervalo .

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