Determine e esboce o domínio e a imagem das funções.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar e esboçar o domínio e a imagem da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, especialmente como encontrar onde a função está “valendo” (domínio) e quais são os possíveis resultados que ela pode dar (imagem).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Como temos raízes quadradas na função, precisamos garantir que o que está dentro delas seja não negativo, porque a raiz quadrada de um número negativo não é real.
Passo 3
Então, vamos analisar as condições para que as expressões dentro das raízes sejam maiores ou iguais a zero:
Isso significa que:
Passo 4
Resolvendo essas desigualdades, temos:
Portanto, o domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
estão entre -1 e 1.
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir. Para isso, precisamos entender o que acontece com
e
dentro das restrições do domínio.
Passo 6
Sabemos que:
Então, a diferença
pode variar entre -1 e 1. O valor máximo ocorre quando
e
, dando
. O valor mínimo ocorre quando
e
, dando
.
Resposta
A imagem da função
é o intervalo
.