Sob condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque de 15 \mathrm{kN} . \mathrm{m} no eixo AB . Sabendo que cada um dos eixos é maciço, determine a tensão de cisalhamento máxima no trecho A B.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima no trecho AB.
Informações fornecidas (peguei os valores na imagem):
  • Torque aplicado pelo motor no eixo em A: T_A=15\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Cada eixo é maciço (sólido).
  • Diâmetro do trecho AB: d_{AB}=56\\ \text{mm} (peguei este valor da imagem).
  • Na imagem também aparecem outros torques nos discos: T_B=1,4\\ \text{kN}\cdot\text{m}, T_C=0,9\\ \text{kN}\cdot\text{m} e T_D=0,5\\ \text{kN}\cdot\text{m}, e os diâmetros das outras seções ( 48\\ \text{mm} e 46\\ \text{mm}) — anotei esses valores da imagem, mas só o diâmetro de AB será usado para a tensão em AB.

Passo 2

Determinar o torque interno no trecho AB.
Se fizermos um corte na barra entre A e B, as cargas que atuam à esquerda do corte são apenas o torque do motor em A. Os torques T_B, T_C e T_D atuam em posições à direita do ponto B (conforme a imagem), logo não afetam o torque interno no trecho AB. Portanto o torque interno transmitido no trecho AB é igual ao torque do motor:
T_{AB}=15\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 3

Apresentar a fórmula para tensão de cisalhamento máxima por torção e explicar cada termo.
Para um eixo circular maciço submetido a torque, a tensão de cisalhamento máxima ocorre na superfície e é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J}.
Onde:
  • T é o torque interno (em \text{N}\cdot\text{m}).
  • c é o raio externo do eixo (em \text{m}), ou seja c=\dfrac{d}{2}.
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal; para um eixo circular maciço vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Expliquei: J mede a resistência geométrica da seção à torção; quanto maior d, muito maior será J (cresce com a quarta potência de d).

Passo 4

Converter unidades e calcular J para o trecho AB.
Diâmetro em metros:
d_{AB}=56\\ \text{mm}=0,056\\ \text{m}.
Calcular d^{4}:
d_{AB}^{4}=(0,056)^{4}=9{,}834496\times10^{-6}\\ \text{m}^{4}.
Calcular J:
J=\frac{\pi d_{AB}^{4}}{32}=\frac{\pi\cdot 9{,}834496\times10^{-6}}{32}=9{,}64807\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular \tau_{\max} usando T_{AB}, c e J.
Converter o torque para unidades do SI:
T_{AB}=15\\ \text{kN}\cdot\text{m}=15000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Raio:
c=\frac{d_{AB}}{2}= \frac{0,056}{2}=0,028\\ \text{m}.
Agora aplicar a fórmula:
\tau_{\max}=\frac{T_{AB}\,c}{J}=\frac{15000\cdot 0,028}{9{,}64807\times10^{-7}}.
Calculemos o numerador e depois o quociente:
15000\cdot 0,028=420\\ \text{N}\cdot\text{m}.
\tau_{\max}=\frac{420}{9{,}64807\times10^{-7}}=4{,}35324\times10^{8}\\ \text{Pa}.
Converter para MPa:
\tau_{\max}\approx 435{,}3\\ \text{MPa}.

Passo 6

Interpretação final e observação prática.
A tensão de cisalhamento máxima no trecho AB sob o torque dado é bastante elevada ( \approx 435\\ \text{MPa}); isso mostra que um eixo de 56\\ \text{mm} submetido a 15\\ \text{kN}\cdot\text{m} exige material e projeto adequados (verificação de resistência ao cisalhamento e possíveis fatores de segurança). Se quiser, posso repetir o cálculo para as outras seções ( 48\\ \text{mm} e 46\\ \text{mm}) para comparar as tensões nelas.

Resposta

\tau_{\max}=435{,}3\\ \text{MPa}

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