2- Você observa um objeto movendo-se em MHS. Quando o objeto está de 0,6 metros a direita da sua posição de equilíbrio, sua velocidade é de 2,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e sua aceleração de 8,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. a) A amplitude do movimento, (b) a frequência \omega e (c) A equação de movimento do sistema e a equação da posição X em função do tempo

Passo 1

O enunciado dá uma observação instantânea do movimento e pede três coisas. Aqui está o que foi dado e o que precisamos achar:
  • Dados observados no instante que vamos chamar de t=0:
    • posição a direita da posição de equilíbrio: x(0)=0,6\\ \mathrm{m}.
    • velocidade: v(0)=2,2\\ \mathrm{m/s}.
    • aceleração (valor dado no enunciado): a(0)=8,4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Perguntas:
    a) A amplitude do movimento A.
    b) A frequência angular \omega.
    c) A equação de movimento do sistema (a equação diferencial que descreve o MHS) e a equação da posição x(t).
Observação importante: o enunciado deu os valores numéricos sem especificar sinais vetoriais. Em MHS a aceleração aponta para o centro (sentido contrário à posição). Como a posição dada é “à direita” (positiva), a aceleração real deve apontar para a esquerda, ou seja, ter sinal negativo. Portanto usaremos x(0)=+0,6\\ \mathrm{m} e a(0)=-8,4\\ \mathrm{m/s^{2}} (o módulo foi 8,4) — esta escolha será explicada no passo seguinte.

Passo 2

Relembre a relação fundamental do MHS entre posição e aceleração:
\ddot{x}(t) + \omega^{2} x(t)=0.
Isto significa que, em qualquer instante,
a(t) = \ddot{x}(t) = -\omega^{2} x(t).
Explicando: \ddot{x}(t) é a aceleração instantânea (unidade \mathrm{m/s^{2}}), x(t) é a posição instantânea (unidade \mathrm{m}), e \omega é a frequência angular (unidade \mathrm{rad/s}). A equação diz que a aceleração é proporcional à posição e tem sentido oposto (é essa propriedade que faz o movimento ser oscilatório).
Usaremos essa relação para encontrar \omega a partir de a(0) e x(0).

Passo 3

Determinar o sinal correto da aceleração no instante observado:
  • O enunciado disse "a aceleração de 8,4\\ \mathrm{m/s^{2}}". Como x(0)=+0,6\\ \mathrm{m} (à direita), a aceleração em MHS deve apontar para o centro (para a esquerda), portanto o valor algébrico é a(0)=-8,4\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Substituindo na fórmula a(0)=-\omega^{2}x(0) teremos sinais consistentes.

Passo 4

Calcular \omega usando a(0)=-\omega^{2}x(0).
Escrevendo:
-8,4 = -\omega^{2}\cdot 0,6.
Cancelando o sinal negativo e isolando \omega^{2}:
\omega^{2}=\frac{8,4}{0,6}=14.
Logo,
\omega=\sqrt{14}\approx 3,742\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação didática rápida: isolamos \omega^{2} dividindo o módulo da aceleração pelo módulo da posição, porque a aceleração é proporcional à posição com fator -\omega^{2}.

Passo 5

Encontrar a amplitude A. Usamos a relação entre posição, velocidade e amplitude para MHS. Se escrevemos a solução como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), então a velocidade é v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi). Eliminando o ângulo obtemos a identidade (conservação da “energia” do oscilador):
v^{2}(t)+\omega^{2}x^{2}(t)=\omega^{2}A^{2}.
Isto é útil porque, conhecendo x(0), v(0) e \omega, podemos achar A.

Passo 6

Aplicar a identidade numérica no instante t=0:
v(0)^{2}+\omega^{2}x(0)^{2}=\omega^{2}A^{2}.
Isolando A^{2}:
A^{2}=x(0)^{2}+\frac{v(0)^{2}}{\omega^{2}}.
Substituindo os valores (atenção ao formato decimal com vírgula):
A^{2}=0,6^{2} + \frac{2,2^{2}}{14}=0,36 + \frac{4,84}{14}.
Calculemos \dfrac{4,84}{14}=0,345714\ldots. Então
A^{2}\approx 0,36+0,345714=0,705714\ldots
Portanto
A=\sqrt{0,705714\ldots}\approx 0,841\\ \mathrm{m}.
Explicando em palavras: a amplitude é a máxima distância ao centro; no instante observado parte da “energia” está em forma cinética ( v) e parte em potencial (pela posição). A equação acima soma essas contribuições para recuperar A.

Passo 7

Determinar a fase inicial \varphi e escrever x(t). Vamos tomar o instante observado como t=0. Usando a forma
x(0)=A\cos\varphi,\qquad v(0)=-A\omega\sin\varphi.
Isolamos \cos\varphi e \sin\varphi:
\cos\varphi=\frac{x(0)}{A}=\frac{0,6}{0,841}\approx 0,7135,
\sin\varphi=-\frac{v(0)}{A\omega}=-\frac{2,2}{(0,841)(3,742)}\approx -0,6998.
Note que \cos\varphi>0 e \sin\varphi<0, então \varphi está no quarto quadrante (ângulo negativo entre 0 e -\pi/2). Usamos a função arco-tangente no formato que leva em conta os sinais (ou simplesmente \varphi=\operatorname{atan2}(\sin\varphi,\cos\varphi)):
\varphi\approx -0,776\\ \mathrm{rad}\quad(\approx -44{,}5^\circ).
Comentário: o sinal negativo da fase indica que, no instante t=0, a oscilação está deslocada para a direita ( x>0) e com velocidade para a direita ( v>0), compatível com \cos\varphi>0 e -\sin\varphi>0.

Passo 8

Escrever a equação diferencial do sistema e a solução x(t) com os valores encontrados.
  • A equação diferencial do MHS (equação de movimento) é
\ddot{x}+\omega^{2}x=0,
substituindo o valor numérico de \omega^{2}=14 fica
\ddot{x}+14\,x=0.
  • A solução que satisfaz as condições iniciais x(0)=0,6 e v(0)=2,2 é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
com os valores calculados. Substituindo números:
x(t)\approx 0,841\cos\bigl(3,742\,t-0,776\bigr)\\ \mathrm{m}.
(Se preferir, pode-se escrever com \omega=\sqrt{14} e A=\sqrt{0,705714\ldots} em forma exata/semidefinida.)

Resposta

A\approx 0,841\\ \mathrm{m}
\omega=\sqrt{14}\approx 3,742\\ \mathrm{rad/s}
\ddot{x}+14\,x=0;\qquad x(t)\approx 0,841\cos\bigl(3,742\,t-0,776\bigr)\\ \mathrm{m}

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