2- Você observa um objeto movendo-se em MHS. Quando o objeto está de 0,6 metros a direita da sua posição de equilíbrio, sua velocidade é de
e sua aceleração de
. a) A amplitude do movimento, (b) a frequência
e (c) A equação de movimento do sistema e a equação da posição X em função do tempo
Passo 1
O enunciado dá uma observação instantânea do movimento e pede três coisas. Aqui está o que foi dado e o que precisamos achar:
-
Dados observados no instante que vamos chamar de
: - posição a direita da posição de equilíbrio:
. - velocidade:
. - aceleração (valor dado no enunciado):
.
- posição a direita da posição de equilíbrio:
-
Perguntas:
a) A amplitude do movimento.
b) A frequência angular.
c) A equação de movimento do sistema (a equação diferencial que descreve o MHS) e a equação da posição.
Observação importante: o enunciado deu os valores numéricos sem especificar sinais vetoriais. Em MHS a aceleração aponta para o centro (sentido contrário à posição). Como a posição dada é “à direita” (positiva), a aceleração real deve apontar para a esquerda, ou seja, ter sinal negativo. Portanto usaremos
e
(o módulo foi
) — esta escolha será explicada no passo seguinte.
Passo 2
Relembre a relação fundamental do MHS entre posição e aceleração:
Isto significa que, em qualquer instante,
Explicando:
é a aceleração instantânea (unidade
),
é a posição instantânea (unidade
), e
é a frequência angular (unidade
). A equação diz que a aceleração é proporcional à posição e tem sentido oposto (é essa propriedade que faz o movimento ser oscilatório).
Usaremos essa relação para encontrar
a partir de
e
.
Passo 3
Determinar o sinal correto da aceleração no instante observado:
- O enunciado disse "a aceleração de
". Como (à direita), a aceleração em MHS deve apontar para o centro (para a esquerda), portanto o valor algébrico é . - Substituindo na fórmula
teremos sinais consistentes.
Passo 4
Calcular
usando
.
Escrevendo:
Cancelando o sinal negativo e isolando
:
Logo,
Explicação didática rápida: isolamos
dividindo o módulo da aceleração pelo módulo da posição, porque a aceleração é proporcional à posição com fator
.
Passo 5
Encontrar a amplitude
. Usamos a relação entre posição, velocidade e amplitude para MHS. Se escrevemos a solução como
, então a velocidade é
. Eliminando o ângulo obtemos a identidade (conservação da “energia” do oscilador):
Isto é útil porque, conhecendo
,
e
, podemos achar
.
Passo 6
Aplicar a identidade numérica no instante
:
Isolando
:
Substituindo os valores (atenção ao formato decimal com vírgula):
Calculemos
. Então
Portanto
Explicando em palavras: a amplitude é a máxima distância ao centro; no instante observado parte da “energia” está em forma cinética (
) e parte em potencial (pela posição). A equação acima soma essas contribuições para recuperar
.
Passo 7
Determinar a fase inicial
e escrever
. Vamos tomar o instante observado como
. Usando a forma
Isolamos
e
:
Note que
e
, então
está no quarto quadrante (ângulo negativo entre 0 e
). Usamos a função arco-tangente no formato que leva em conta os sinais (ou simplesmente
):
Comentário: o sinal negativo da fase indica que, no instante
, a oscilação está deslocada para a direita (
) e com velocidade para a direita (
), compatível com
e
.
Passo 8
Escrever a equação diferencial do sistema e a solução
com os valores encontrados.
- A equação diferencial do MHS (equação de movimento) é
substituindo o valor numérico de
fica
- A solução que satisfaz as condições iniciais
e é
com os valores calculados. Substituindo números:
(Se preferir, pode-se escrever com
e
em forma exata/semidefinida.)