Dado o estado tensional ao lado determine: (a) a componente normal e cisalhante na faceta de normal z; (b) o vetor tensão no ponto associado ao plano de normal (2,1,0);
(a) Na faceta cuja normal é \,z (isto é, \mathbf{n}=(0,0,1)), determinar a componente normal da tensão e a componente cisalhante nessa faceta.
(b) O vetor tensão (vetor tração) no ponto associado ao plano cuja normal é (2,1,0).
Os dados relevantes que temos são apenas a matriz \tau e os vetores normais indicados. A resolução começa calculando o vetor tração \mathbf{t} correspondente a cada normal, porque a partir desse vetor conseguimos obter a componente normal (projeção de \mathbf{t} na normal) e a componente cisalhante (parte de \mathbf{t} perpendicular à normal).]
Passo 2
Conceito e fórmula básica — o que vamos usar e por quê.
O vetor tração \mathbf{t} sobre uma faceta de normal unitária \mathbf{n} é dado por
\mathbf{t}=\tau\mathbf{n}.
Aqui \tau é a matriz do tensor de tensões e \mathbf{n} deve ser unitário. A componente normal escalar (tensão normal) é
com magnitude |\boldsymbol{\tau}_s|=\sqrt{\boldsymbol{\tau}_s\cdot\boldsymbol{\tau}_s}.
Vou aplicar essas fórmulas primeiro para \mathbf{n}=(0,0,1) (parte (a)) e depois para (2,1,0) (parte (b)), lembrando sempre de normalizar o vetor quando necessário.
Passo 3
Parte (a) — cálculo do vetor tração para \mathbf{n}=(0,0,1).
Como \mathbf{n}=(0,0,1) já é unitário, basta multiplicar \tau por esse vetor. A multiplicação \mathbf{t}=\tau\mathbf{n} corresponde a pegar a terceira coluna de \tau. Portanto
Parte (b) — preparar o vetor normal e calcular o vetor tração.
O enunciado dá a normal (2,1,0) que não é unitária. Primeiro faço o vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}}:
Parte (b) — (opcionalmente) decompor \mathbf{t} em normal e cisalhante e calcular a tensão normal escalar e a magnitude do cisalhamento (mostro porque isso costuma cair na prova).
A tensão normal escalar é