Dado o estado tensional ao lado determine: (a) a componente normal e cisalhante na faceta de normal z; (b) o vetor tensão no ponto associado ao plano de normal (2,1,0);
\tau=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 2 \\ 0 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz do estado tensional
\tau=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\[4pt] 0 & -4 & 4\\[4pt] 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  1. (a) Na faceta cuja normal é \,z (isto é, \mathbf{n}=(0,0,1)), determinar a componente normal da tensão e a componente cisalhante nessa faceta.
  2. (b) O vetor tensão (vetor tração) no ponto associado ao plano cuja normal é (2,1,0).
Os dados relevantes que temos são apenas a matriz \tau e os vetores normais indicados. A resolução começa calculando o vetor tração \mathbf{t} correspondente a cada normal, porque a partir desse vetor conseguimos obter a componente normal (projeção de \mathbf{t} na normal) e a componente cisalhante (parte de \mathbf{t} perpendicular à normal).]

Passo 2

Conceito e fórmula básica — o que vamos usar e por quê.
O vetor tração \mathbf{t} sobre uma faceta de normal unitária \mathbf{n} é dado por
\mathbf{t}=\tau\mathbf{n}.
Aqui \tau é a matriz do tensor de tensões e \mathbf{n} deve ser unitário. A componente normal escalar (tensão normal) é
\sigma_n=\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}=\mathbf{n}\cdot(\tau\mathbf{n}),
e a componente cisalhante (vetor cisalhante) é a parte de \mathbf{t} perpendicular a \mathbf{n}, isto é
\boldsymbol{\tau}_s=\mathbf{t}-\sigma_n\mathbf{n},
com magnitude |\boldsymbol{\tau}_s|=\sqrt{\boldsymbol{\tau}_s\cdot\boldsymbol{\tau}_s}.
Vou aplicar essas fórmulas primeiro para \mathbf{n}=(0,0,1) (parte (a)) e depois para (2,1,0) (parte (b)), lembrando sempre de normalizar o vetor quando necessário.

Passo 3

Parte (a) — cálculo do vetor tração para \mathbf{n}=(0,0,1).
Como \mathbf{n}=(0,0,1) já é unitário, basta multiplicar \tau por esse vetor. A multiplicação \mathbf{t}=\tau\mathbf{n} corresponde a pegar a terceira coluna de \tau. Portanto
\mathbf{t}=\tau\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[3pt]4\\[3pt]6\end{pmatrix}.
Expliquei: cada componente t_i=\tau_{i1}\cdot0+\tau_{i2}\cdot0+\tau_{i3}\cdot1=\tau_{i3}.]

Passo 4

Parte (a) — componente normal e cisalhante na faceta de normal \mathbf{n}=(0,0,1).
A componente normal escalar é
\sigma_n=\mathbf{n}\cdot\mathbf{t}=(0,0,1)\cdot(2,4,6)=6.
Agora a componente cisalhante (vetor) é a parte de \mathbf{t} perpendicular à normal:
\boldsymbol{\tau}_s=\mathbf{t}-\sigma_n\mathbf{n} =\begin{pmatrix}2\\[3pt]4\\[3pt]6\end{pmatrix}-6\begin{pmatrix}0\\[3pt]0\\[3pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[3pt]4\\[3pt]0\end{pmatrix}.
A magnitude da tensão cisalhante é
|\boldsymbol{\tau}_s|=\sqrt{2^2+4^2+0^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.]

Passo 5

Parte (b) — preparar o vetor normal e calcular o vetor tração.
O enunciado dá a normal (2,1,0) que não é unitária. Primeiro faço o vetor normal unitário \hat{\mathbf{n}}:
\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}}\begin{pmatrix}2\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Agora calculo \mathbf{t}=\tau\hat{\mathbf{n}}. Primeiro multiplico \tau pelo vetor não normalizado (2,1,0):
\tau\begin{pmatrix}2\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot2 + 0\cdot1 + 2\cdot0\\[3pt] 0\cdot2 + (-4)\cdot1 + 4\cdot0\\[3pt] 2\cdot2 + 4\cdot1 + 6\cdot0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\[3pt]-4\\[3pt]8\end{pmatrix}.
Dividindo por \sqrt{5} (porque \hat{\mathbf{n}}=(2,1,0)/\sqrt5) obtemos
\mathbf{t}=\tau\hat{\mathbf{n}}=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}4\\[3pt]-4\\[3pt]8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt5}\\[6pt]\dfrac{-4}{\sqrt5}\\[6pt]\dfrac{8}{\sqrt5}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Parte (b) — (opcionalmente) decompor \mathbf{t} em normal e cisalhante e calcular a tensão normal escalar e a magnitude do cisalhamento (mostro porque isso costuma cair na prova).
A tensão normal escalar é
\sigma_n=\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{t}=\hat{\mathbf{n}}^T\tau\hat{\mathbf{n}}.
Usando os números já calculados:
\sigma_n=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\[3pt]-4\\[3pt]8\end{pmatrix} =\frac{1}{5}(2\cdot4 + 1\cdot(-4) + 0\cdot8)=\frac{1}{5}(8-4)=\frac{4}{5}.
O vetor cisalhante resulta
\boldsymbol{\tau}_s=\mathbf{t}-\sigma_n\hat{\mathbf{n}} =\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}4\\[3pt]-4\\[3pt]8\end{pmatrix}-\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix} =\frac{1}{5\sqrt5}\begin{pmatrix}12\\[3pt]-24\\[3pt]40\end{pmatrix}.
A magnitude do cisalhamento é
|\boldsymbol{\tau}_s| =\frac{1}{5\sqrt5}\sqrt{12^2+(-24)^2+40^2} =\frac{1}{5\sqrt5}\sqrt{2320}.
Simplificando \sqrt{2320}=4\sqrt{145}=5\sqrt{29} dividido de forma apropriada dá
|\boldsymbol{\tau}_s|=\frac{4\sqrt{29}}{5}\approx 4{,}308\ldots
(essa decomposição é útil para interpretar quanto da tração é normal e quanto é cisalhante.)]

Resposta

(a) \sigma_n=6,\quad \boldsymbol{\tau}_s=\begin{pmatrix}2\\[3pt]4\\[3pt]0\end{pmatrix},\quad |\boldsymbol{\tau}_s|=2\sqrt{5}
(b) \mathbf{t}=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{\sqrt5}\\[6pt]\dfrac{-4}{\sqrt5}\\[6pt]\dfrac{8}{\sqrt5}\end{pmatrix}]

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