Sob condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque de
no eixo AB . Sabendo que cada um dos eixos é maciço, determine a tensão de cisalhamento máxima no trecho
. Por fim, para reduzir a massa total do conjunto, está sendo considerada a redução do diâmetro do eixo no trecho BC. Determine o menor diâmetro do trecho BC para o qual o valor máximo da tensão de cisalhamento no conjunto não seja aumentado.
Passo 1
O enunciado (e a figura) nos dão as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para a gente não se perder):\n
- O motor aplicado à esquerda entrega um torque de
no eixo em AB. - Há torques resistentes aplicados nos discos indicados na figura (peguei esses valores da imagem):
, , . - Os diâmetros (também retirados da imagem) nos trechos são:
, , , . - As solicitações são: (1) determinar a tensão de cisalhamento máxima no trecho
; (2) reduzir o diâmetro em até o menor valor tal que o valor máximo da tensão de cisalhamento no conjunto NÃO aumente (ou seja, o novo valor em não deve exceder a tensão máxima atual do conjunto).\n
Observação: peguei explicitamente os valores de torques e diâmetros da figura; se algum número na sua figura for diferente, troque no cálculo.
Passo 2
Determinar os torques internos que atuam em cada trecho do eixo (isto é, o torque transmissível em cada seção, subtraindo os torques externos que aparecem à esquerda):\n
- Torque à esquerda de
(trecho ): \n - Ao atravessar o disco em
há um torque resistente para a direita, então o torque transmitido no trecho (logo à direita de ) é
Substituindo:
\n
- À direita de
(trecho ) o torque é \n - À direita de
(trecho ) o torque é \n
(Valores em. Para contas em SI transformaremos para quando necessário.)
Passo 3
Relembrando a fórmula para tensão de cisalhamento máxima em um eixo maciço submetido à torção: a distribuição de tensão é linear com o raio e o máximo ocorre na superfície. A relação geral é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (Pa), -
é o torque na seção (N·m), -
é o raio do eixo (m), -
é o momento polar de inércia da seção (m^4).
Para uma seção circular maciça de diâmetro
temos
e
. Substituindo em
obtemos a forma prática muito usada
Essa fórmula é prática porque envolve só o torque
e o diâmetro
. Note que
deve estar em
e
em metros para obter
em pascal.
Passo 4
Calcular a tensão de cisalhamento no trecho
. Primeiro converter unidades:\n
\n
\n
Aplicando a fórmula
Aplicando a fórmula
Substituindo numericamente:
Vamos calcular passo a passo (eu mostro as contas para você poder fazer sem calculadora em provas usando aproximações, mas aqui dou o valor numérico):\n
-
. -
. -
\n
Portanto
Convertendo para
(dividindo por
):
Passo 5
Para saber se essa tensão em
é a máxima do conjunto ou não, calculamos as tensões também nos outros trechos (mesmo procedimento). Vou mostrar as contas resumidas:
Trecho
:
,
.
Cálculo rápido:
,
,
, logo
Trecho
:
,
.
Usando
como antes e
,
Trecho
:
,
.
Cálculo:
,
,
, então
Passo 6
Comparando as tensões calculadas:
Portanto a tensão máxima atual no conjunto ocorre no trecho
e vale aproximadamente
Passo 7
Agora a segunda parte: reduzir o diâmetro de
o quanto possível sem aumentar a tensão máxima do conjunto. Isso significa que, após reduzir
, a tensão em
não deve exceder a tensão máxima atual
. Assim impomos
Para achar o menor diâmetro possível igualamos (caso limite)
Isolando
:
Substituindo
e
:
Calculemos numericamente:
Tomando a raiz cúbica:
Passo 8
Interpretação: o diâmetro atual de
é
. Podemos reduzir até aproximadamente
sem que a tensão máxima do conjunto aumente (no limite, a tensão em
ficará igual à atual tensão máxima do conjunto, que está em
). Se reduzir abaixo disso,
se tornará o ponto mais crítico e a tensão máxima do conjunto aumentará.