Sob condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque de 15 \mathrm{kN} . \mathrm{m} no eixo AB . Sabendo que cada um dos eixos é maciço, determine a tensão de cisalhamento máxima no trecho B C. Por fim, para reduzir a massa total do conjunto, está sendo considerada a redução do diâmetro do eixo no trecho BC. Determine o menor diâmetro do trecho BC para o qual o valor máximo da tensão de cisalhamento no conjunto não seja aumentado.

Passo 1

O enunciado (e a figura) nos dão as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente para a gente não se perder):\n
  • O motor aplicado à esquerda entrega um torque de \;15\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} no eixo em AB.
  • Há torques resistentes aplicados nos discos indicados na figura (peguei esses valores da imagem):
    \;T_B = 1,4\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}, \;T_C = 0,9\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}, \;T_D = 0,5\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
  • Os diâmetros (também retirados da imagem) nos trechos são: \;d_{AB}=56\\ \mathrm{mm}, \;d_{BC}=48\\ \mathrm{mm}, \;d_{CD}=48\\ \mathrm{mm}, \;d_{DE}=46\\ \mathrm{mm}.
  • As solicitações são: (1) determinar a tensão de cisalhamento máxima no trecho BC; (2) reduzir o diâmetro em BC até o menor valor tal que o valor máximo da tensão de cisalhamento no conjunto NÃO aumente (ou seja, o novo valor em BC não deve exceder a tensão máxima atual do conjunto).\n
    Observação: peguei explicitamente os valores de torques e diâmetros da figura; se algum número na sua figura for diferente, troque no cálculo.

Passo 2

Determinar os torques internos que atuam em cada trecho do eixo (isto é, o torque transmissível em cada seção, subtraindo os torques externos que aparecem à esquerda):\n
  • Torque à esquerda de B (trecho AB): \;T_{AB}=15\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.\n
  • Ao atravessar o disco em B há um torque resistente \;T_B para a direita, então o torque transmitido no trecho BC (logo à direita de B) é
T_{BC}=T_{AB}-T_B.
Substituindo: \;T_{BC}=15-1,4=13,6\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.\n
  • À direita de C (trecho CD) o torque é T_{CD}=T_{BC}-T_C=13,6-0,9=12,7\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.\n
  • À direita de D (trecho DE) o torque é T_{DE}=T_{CD}-T_D=12,7-0,5=12,2\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.\n
    (Valores em \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}. Para contas em SI transformaremos para \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} quando necessário.)

Passo 3

Relembrando a fórmula para tensão de cisalhamento máxima em um eixo maciço submetido à torção: a distribuição de tensão é linear com o raio e o máximo ocorre na superfície. A relação geral é
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (Pa),
  • T é o torque na seção (N·m),
  • r é o raio do eixo (m),
  • J é o momento polar de inércia da seção (m^4).
Para uma seção circular maciça de diâmetro d temos
J=\frac{\pi d^4}{32},
e r=\dfrac{d}{2}. Substituindo em \tau_{\max}=\dfrac{T r}{J} obtemos a forma prática muito usada
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^3}.
Essa fórmula é prática porque envolve só o torque T e o diâmetro d. Note que T deve estar em \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} e d em metros para obter \tau em pascal.

Passo 4

Calcular a tensão de cisalhamento no trecho BC. Primeiro converter unidades:\n
\;T_{BC}=13,6\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=13\,600\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}.\n
\;d_{BC}=48\\ \mathrm{mm}=0,048\\ \mathrm{m}.\n
Aplicando a fórmula
\tau_{BC}=\frac{16\,T_{BC}}{\pi d_{BC}^3}.
Substituindo numericamente:
\tau_{BC}=\frac{16\cdot 13\,600}{\pi\cdot(0,048)^3}\\ \mathrm{Pa}.
Vamos calcular passo a passo (eu mostro as contas para você poder fazer sem calculadora em provas usando aproximações, mas aqui dou o valor numérico):\n
  • (0,048)^3=0{,}048^3=0{,}000110592\\ \mathrm{m}^3.
  • \pi\cdot(0,048)^3\approx 3{,}14159\cdot0{,}000110592 \approx 0{,}000347283.
  • 16\cdot13\,600=217\,600.\n
    Portanto
\tau_{BC}\approx\frac{217\,600}{0{,}000347283}\\ \mathrm{Pa}\approx 6{,}27\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para \mathrm{MPa} (dividindo por 10^{6}):
\tau_{BC}\approx 626{,}7\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Para saber se essa tensão em BC é a máxima do conjunto ou não, calculamos as tensões também nos outros trechos (mesmo procedimento). Vou mostrar as contas resumidas:
Trecho AB: \;T_{AB}=15\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=15\,000\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}, \;d_{AB}=56\\ \mathrm{mm}=0,056\\ \mathrm{m}.
\tau_{AB}=\frac{16\cdot15\,000}{\pi\cdot(0,056)^3}.
Cálculo rápido:
(0,056)^3=0{,}000175616, \pi(0,056)^3\approx0{,}0005516, 16\cdot15\,000=240\,000, logo
\tau_{AB}\approx\frac{240\,000}{0{,}0005516}\\ \mathrm{Pa}\approx 435{,}2\\ \mathrm{MPa}.
Trecho CD: \;T_{CD}=12,7\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=12\,700\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}, \;d_{CD}=48\\ \mathrm{mm}=0,048\\ \mathrm{m}.
\tau_{CD}=\frac{16\cdot12\,700}{\pi\cdot(0,048)^3}.
Usando \pi(0,048)^3\approx0{,}000347283 como antes e 16\cdot12\,700=203\,200,
\tau_{CD}\approx\frac{203\,200}{0{,}000347283}\\ \mathrm{Pa}\approx 585{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Trecho DE: \;T_{DE}=12,2\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=12\,200\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}, \;d_{DE}=46\\ \mathrm{mm}=0,046\\ \mathrm{m}.
\tau_{DE}=\frac{16\cdot12\,200}{\pi\cdot(0,046)^3}.
Cálculo:
(0,046)^3=0{,}000097336, \pi(0,046)^3\approx0{,}000305628, 16\cdot12\,200=195\,200, então
\tau_{DE}\approx\frac{195\,200}{0{,}000305628}\\ \mathrm{Pa}\approx 638{,}9\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Comparando as tensões calculadas:
\tau_{AB}\approx 435{,}2\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{BC}\approx 626{,}7\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{CD}\approx 585{,}3\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{DE}\approx 638{,}9\\ \mathrm{MPa}.
Portanto a tensão máxima atual no conjunto ocorre no trecho DE e vale aproximadamente \tau_{\max,\text{atual}}=\tau_{DE}\approx 638{,}9\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Agora a segunda parte: reduzir o diâmetro de BC o quanto possível sem aumentar a tensão máxima do conjunto. Isso significa que, após reduzir d_{BC}, a tensão em BC não deve exceder a tensão máxima atual \tau_{\max,\text{atual}}=638{,}9\\ \mathrm{MPa}. Assim impomos
\tau_{BC,\text{novo}}=\frac{16\,T_{BC}}{\pi d_{BC,\min}^3}\le \tau_{\max,\text{atual}}.
Para achar o menor diâmetro possível igualamos (caso limite)
\frac{16\,T_{BC}}{\pi d_{BC,\min}^3}=\tau_{\max,\text{atual}}.
Isolando d_{BC,\min}:
d_{BC,\min}^3=\frac{16\,T_{BC}}{\pi\,\tau_{\max,\text{atual}}} \quad\Rightarrow\quad d_{BC,\min}=\sqrt[3]{\frac{16\,T_{BC}}{\pi\,\tau_{\max,\text{atual}}}}.
Substituindo T_{BC}=13\,600\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} e \tau_{\max,\text{atual}}=638{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}:
d_{BC,\min}=\sqrt[3]{\frac{16\cdot13\,600}{\pi\cdot 638{,}9\times10^{6}}}\\ \mathrm{m}.
Calculemos numericamente:
\frac{16\cdot13\,600}{\pi\cdot 638{,}9\times10^{6}} = \frac{217\,600}{2{,}006394\times10^{9}}\approx 1{,}084\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
Tomando a raiz cúbica:
d_{BC,\min}\approx \sqrt[3]{1{,}084\times10^{-4}}\\ \mathrm{m}\approx 0{,}0476\\ \mathrm{m}=47{,}6\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Interpretação: o diâmetro atual de BC é 48\\ \mathrm{mm}. Podemos reduzir até aproximadamente 47{,}6\\ \mathrm{mm} sem que a tensão máxima do conjunto aumente (no limite, a tensão em BC ficará igual à atual tensão máxima do conjunto, que está em DE). Se reduzir abaixo disso, BC se tornará o ponto mais crítico e a tensão máxima do conjunto aumentará.

Resposta

\tau_{BC}\approx 626{,}7\\ \mathrm{MPa}\n
d_{BC,\min}\approx 47{,}6\\ \mathrm{mm}

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