Sob condições normais de operação, o motor elétrico aplica um torque de 15 \mathrm{kN} . \mathrm{m} no eixo AB . Sabendo que cada um dos eixos é maciço, determine a tensão de cisalhamento máxima no trecho C D.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima no trecho C D.
Dados fornecidos (peguei estes valores na imagem do enunciado):
\;T_{\text{motor}}=15\\ \text{kN}\cdot\text{m} (torque aplicado pelo motor em AB).
\;T_{B}=1,4\\ \text{kN}\cdot\text{m}, \;T_{C}=0,9\\ \text{kN}\cdot\text{m}, \;T_{D}=0,5\\ \text{kN}\cdot\text{m} (torques aplicados pelos discos nos pontos indicados, valores lidos na figura).
Diâmetros dos trechos (também lidos na figura): diâmetro do trecho C D: \;d=48\\ \text{mm}.
Observação importante: cada eixo é maciço (ou seja, raio sólido). A resolução começa agora, com passo a passo das contas necessárias.

Passo 2

Determinar o torque interno atuante no trecho C D.
Raciocínio: indo do motor (esquerda) para a direita, o motor fornece \;T_{\text{motor}}. Cada disco retira o seu torque do que é transmitido para a direita. Assim o torque no trecho entre C e D é o torque do motor menos os torques aplicados em B e C. Portanto,
T_{CD}=T_{\text{motor}}-T_{B}-T_{C}.
Substituindo os valores (mantendo unidades consistentes):
T_{CD}=15\\ \text{kN}\cdot\text{m}-1,4\\ \text{kN}\cdot\text{m}-0,9\\ \text{kN}\cdot\text{m}=12,7\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Converter para unidades do SI (N·m):
T_{CD}=12,7\\ \text{kN}\cdot\text{m}=12700\\ \text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Lembrar a fórmula da tensão de cisalhamento máxima por torção em eixo circular maciço e derivação curta (aula rápida):
Para um eixo circular maciço, o esforço de cisalhamento máximo na superfície é dado por
\tau_{\max}=\frac{T\,r}{J},
onde:
  • \;T é o torque interno (N·m),
  • \;r é o raio do eixo (m),
  • \;J é o momento polar de inércia do círculo maciço, dado por \;J=\dfrac{\pi d^{4}}{32} (m^4),
  • \;d é o diâmetro do eixo (m).
Substituindo r=d/2 e J na expressão, obtemos a forma prática muito usada:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Explicação curta: essa fórmula é só álgebra substituindo r e J; ela dá diretamente a tensão máxima em função do torque e do diâmetro.

Passo 4

Aplicar a fórmula com os valores do trecho C D. Primeiro converter o diâmetro para metros:
d=48\\ \text{mm}=0,048\\ \text{m}.
Usar a fórmula
\tau_{\max}=\frac{16\,T_{CD}}{\pi d^{3}}.
Substituindo números:
d^{3}=(0,048)^{3}=0,000110592\\ \text{m}^{3}.
\pi d^{3}\approx \pi\cdot 0,000110592\approx 0,0003471\\ \text{m}^{3}.
16\,T_{CD}=16\cdot 12700=203200\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Agora a divisão:
\tau_{\max}=\frac{203200}{0,0003471}\\ \text{Pa}\approx 5,86\times 10^{8}\\ \text{Pa}.
Converter para MPa:
\tau_{\max}\approx 586\\ \text{MPa}.

Passo 5

Verificação rápida e comentário: as unidades batem (N·m dividido por m^3 dá N/m^2 = Pa). O valor obtido é numeroso (da ordem de centenas de MPa) — em aplicações reais isso indica que o material/diâmetro poderia não ser adequado sem verificar o limite de escoamento e fatores de segurança. Mas numericamente, seguindo dados do enunciado e da figura, a tensão de cisalhamento máxima no trecho C D é a que foi calculada acima.

Resposta

\tau_{\max}=5,86\times10^{8}\\ \text{Pa}=586\\ \text{MPa}

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