Sobre uma amostra de solo foram realizados ensaios de cisalhamento direto que * forneceram na ruptura os resultados apresentados na tabela. Determinar a envoltória de resistência do solo.
CP
Tensão Normal (kPa)
Tensão Cisalhante (kPa)
1
42
39,5
2
78
62
3
130
99
e
e
e
e
e
| CP | Tensão Normal (kPa) | Tensão Cisalhante (kPa) |
| 1 | 42 | 39,5 |
| 2 | 78 | 62 |
| 3 | 130 | 99 |
Passo 1
O enunciado pede: determinar a envoltória de resistência do solo (isto é, os parâmetros da lei de Coulomb) a partir dos resultados dos ensaios de cisalhamento direto. Os dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado) são três pontos de ruptura com tensão normal e tensão cisalhante associada:
As alternativas oferecidas são combinações de
e
. Nosso objetivo final: estimar
(cohesão) e
(ângulo de atrito interno) a partir desses dados.
Passo 2
Conceito e modelo que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
A lei de resistência de Coulomb para solos, na forma simplificada usada em ensaios diretos, é uma relação linear entre tensão cisalhante de ruptura e tensão normal
:
A lei de resistência de Coulomb para solos, na forma simplificada usada em ensaios diretos, é uma relação linear entre tensão cisalhante de ruptura
Explicando cada termo:
-
é a tensão cisalhante na ruptura (kPa). -
é a tensão normal sobre o plano de ruptura (kPa). -
é a coerência ou coesão do solo (kPa) — é o intercepto vertical da reta vs . -
é o ângulo de atrito interno (graus); é a inclinação (slope) da reta.
Como temos três pontos que em geral não são colineares perfeitos, a forma robusta e usual para estimar
e
é ajustar por mínimos quadrados a relação linear
onde
. Vou portanto fazer um ajuste linear por mínimos quadrados e depois calcular
. Essa escolha é prática para provas e comum em engenharia de solos quando há vários pontos experimentais.
Passo 3
Fórmulas de mínimos quadrados (passo-a-passo, sem pular):
Dado um conjunto de pontos ,
, a inclinação ótima
e o intercepto
por mínimos quadrados são dados por
Dado um conjunto de pontos
onde
Aqui
. Essas fórmulas vêm de derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação a
e
e igualar a zero — é a forma padrão de ajuste linear.
Passo 4
Calcular as médias
e
usando os dados:
Passo 5
Calcular o numerador
termo a termo (faço exatidão com frações para ficar limpinho):
Para
:
.
.
Produto:
Produto:
Para
:
.
.
Produto:
Produto:
Para
:
.
.
Produto:
Produto:
Somando os três termos:
Passo 6
Calcular o denominador
termo a termo:
Para
:
Para
:
Para
:
Somando:
Passo 7
Calcular a inclinação
e o ângulo
:
A inclinação por mínimos quadrados é
Esse
é
. Para obter
em graus fazemos:
(Comparação rápida:
e
, então o valor calculado está bem próximo de
.)
Passo 8
Calcular a coesão
(intercepto):
Usando valores numéricos:
Arredondando de forma prática e comparando com as alternativas, obtemos
, ou seja, aproximadamente
.
Passo 9
Interpretação final e escolha entre as alternativas:
Os valores obtidos pelo ajuste por mínimos quadrados são aproximadamente
Os valores obtidos pelo ajuste por mínimos quadrados são aproximadamente
Entre as alternativas fornecidas, a que melhor representa esses resultados é a que dá
e
.