Sobre uma amostra de solo foram realizados ensaios de cisalhamento direto que * forneceram na ruptura os resultados apresentados na tabela. Determinar a envoltória de resistência do solo.
CP Tensão Normal (kPa) Tensão Cisalhante (kPa)
1 42 39,5
2 78 62
3 130 99
\bigcirc \mathrm{c}=10 \mathrm{kPa} e \Phi=34^{\circ}
\bigcirc \mathrm{c}=28 \mathrm{kPa} e \Phi=25^{\circ}
\bigcirc \mathrm{c}=10 \mathrm{kPa} e \Phi=25^{\circ}
\bigcirc c=14 \mathrm{kPa} e \Phi=34^{\circ}
\bigcirc c=14 \mathrm{kPa} e \Phi=25^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a envoltória de resistência do solo (isto é, os parâmetros da lei de Coulomb) a partir dos resultados dos ensaios de cisalhamento direto. Os dados fornecidos (retirados da tabela do enunciado) são três pontos de ruptura com tensão normal e tensão cisalhante associada:
(\sigma_1,\tau_1)=(42,\;39{,}5)\\ \text{kPa},
(\sigma_2,\tau_2)=(78,\;62)\\ \text{kPa},
(\sigma_3,\tau_3)=(130,\;99)\\ \text{kPa}.
As alternativas oferecidas são combinações de c e \Phi. Nosso objetivo final: estimar c (cohesão) e \Phi (ângulo de atrito interno) a partir desses dados.

Passo 2

Conceito e modelo que vamos usar (aulas rápidas e diretas):
A lei de resistência de Coulomb para solos, na forma simplificada usada em ensaios diretos, é uma relação linear entre tensão cisalhante de ruptura \tau e tensão normal \sigma:
\tau = c + \sigma \tan\Phi.
Explicando cada termo:
  • \tau é a tensão cisalhante na ruptura (kPa).
  • \sigma é a tensão normal sobre o plano de ruptura (kPa).
  • c é a coerência ou coesão do solo (kPa) — é o intercepto vertical da reta \tau vs \sigma.
  • \Phi é o ângulo de atrito interno (graus); \tan\Phi é a inclinação (slope) da reta.
Como temos três pontos que em geral não são colineares perfeitos, a forma robusta e usual para estimar c e \tan\Phi é ajustar por mínimos quadrados a relação linear
\tau = c + m\,\sigma,
onde m=\tan\Phi. Vou portanto fazer um ajuste linear por mínimos quadrados e depois calcular \Phi=\arctan(m). Essa escolha é prática para provas e comum em engenharia de solos quando há vários pontos experimentais.

Passo 3

Fórmulas de mínimos quadrados (passo-a-passo, sem pular):
Dado um conjunto de pontos (\sigma_i,\tau_i), i=1,\dots,n, a inclinação ótima m e o intercepto c por mínimos quadrados são dados por
m=\frac{\sum_{i=1}^n(\sigma_i-\bar\sigma)(\tau_i-\bar\tau)}{\sum_{i=1}^n(\sigma_i-\bar\sigma)^2},
c=\bar\tau - m\,\bar\sigma,
onde
\bar\sigma=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sigma_i,\qquad \bar\tau=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\tau_i.
Aqui n=3. Essas fórmulas vêm de derivar a soma dos quadrados dos resíduos em relação a m e c e igualar a zero — é a forma padrão de ajuste linear.

Passo 4

Calcular as médias \bar\sigma e \bar\tau usando os dados:
\bar\sigma=\frac{42+78+130}{3}=\frac{250}{3}\\ \text{kPa}\approx83{,}3333\\ \text{kPa},
\bar\tau=\frac{39{,}5+62+99}{3}=\frac{200{,}5}{3}=\frac{401}{6}\\ \text{kPa}\approx66{,}8333\\ \text{kPa}.

Passo 5

Calcular o numerador \sum(\sigma_i-\bar\sigma)(\tau_i-\bar\tau) termo a termo (faço exatidão com frações para ficar limpinho):
Para i=1: \sigma_1-\bar\sigma=42-\dfrac{250}{3}=-\dfrac{124}{3}.
\tau_1-\bar\tau=39{,}5-\dfrac{401}{6}=-\dfrac{82}{3}.
Produto:
(\sigma_1-\bar\sigma)(\tau_1-\bar\tau)=\left(-\dfrac{124}{3}\right)\left(-\dfrac{82}{3}\right)=\dfrac{124\cdot82}{9}=\dfrac{10168}{9}.
Para i=2: \sigma_2-\bar\sigma=78-\dfrac{250}{3}=-\dfrac{16}{3}.
\tau_2-\bar\tau=62-\dfrac{401}{6}=-\dfrac{29}{6}.
Produto:
(\sigma_2-\bar\sigma)(\tau_2-\bar\tau)=\left(-\dfrac{16}{3}\right)\left(-\dfrac{29}{6}\right)=\dfrac{232}{9}.
Para i=3: \sigma_3-\bar\sigma=130-\dfrac{250}{3}=\dfrac{140}{3}.
\tau_3-\bar\tau=99-\dfrac{401}{6}=\dfrac{193}{6}.
Produto:
(\sigma_3-\bar\sigma)(\tau_3-\bar\tau)=\left(\dfrac{140}{3}\right)\left(\dfrac{193}{6}\right)=\dfrac{13510}{9}.
Somando os três termos:
\sum_{i=1}^3(\sigma_i-\bar\sigma)(\tau_i-\bar\tau) =\dfrac{10168+232+13510}{9}=\dfrac{23910}{9}.

Passo 6

Calcular o denominador \sum(\sigma_i-\bar\sigma)^2 termo a termo:
Para i=1: (\sigma_1-\bar\sigma)^2=\left(-\dfrac{124}{3}\right)^2=\dfrac{15376}{9}.
Para i=2: (\sigma_2-\bar\sigma)^2=\left(-\dfrac{16}{3}\right)^2=\dfrac{256}{9}.
Para i=3: (\sigma_3-\bar\sigma)^2=\left(\dfrac{140}{3}\right)^2=\dfrac{19600}{9}.
Somando:
\sum_{i=1}^3(\sigma_i-\bar\sigma)^2=\dfrac{15376+256+19600}{9}=\dfrac{35232}{9}.

Passo 7

Calcular a inclinação m e o ângulo \Phi:
A inclinação por mínimos quadrados é
m=\frac{\dfrac{23910}{9}}{\dfrac{35232}{9}}=\frac{23910}{35232}\approx0{,}67864.
Esse m é \tan\Phi. Para obter \Phi em graus fazemos:
\Phi=\arctan(m)=\arctan(0{,}67864)\approx34{,}16^\circ.
(Comparação rápida: \tan34^\circ\approx0{,}6745 e \tan35^\circ\approx0{,}7002, então o valor calculado está bem próximo de 34^\circ.)

Passo 8

Calcular a coesão c (intercepto):
c=\bar\tau - m\,\bar\sigma.
Usando valores numéricos:
c\approx66{,}83333 - 0{,}67864\cdot83{,}33333 \approx66{,}83333 - 56{,}55303 \approx10{,}2803\\ \text{kPa}.
Arredondando de forma prática e comparando com as alternativas, obtemos c\approx10{,}3\\ \text{kPa}, ou seja, aproximadamente 10\\ \text{kPa}.

Passo 9

Interpretação final e escolha entre as alternativas:
Os valores obtidos pelo ajuste por mínimos quadrados são aproximadamente
c\approx10{,}3\\ \text{kPa},\qquad \Phi\approx34{,}16^\circ.
Entre as alternativas fornecidas, a que melhor representa esses resultados é a que dá c=10\\ \text{kPa} e \Phi=34^\circ.

Resposta

c=10\\ \mathrm{kPa} e \Phi=34^\circ

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