Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de
da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de
para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de
.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de
. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de
, com desvio padrão de €900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Teste a hipótese de Luís Dantas de que o gasto médio por escola é de
, com nível de significância de
.
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de
Teste a hipótese de Luís Dantas de que o gasto médio por escola é de
Passo 1
O que o problema pede: testar a hipótese de Luís Dantas de que o gasto médio por escola é de
, usando nível de significância de
.
Informações dadas (dados da amostra que vamos usar):
- tamanho da amostra de escolas:
; - média amostral do gasto por escola: (peguei esse valor do enunciado: "a média de gasto por escola era de " );
- desvio padrão amostral: (peguei esse valor do enunciado: "com desvio padrão de ");
- nível de significância:
.
Observação clara do pedido: devemos decidir, com base nesses dados, se há evidência para rejeitar a afirmação de que o gasto médio por escola é
.
Passo 2
Que hipótese vamos testar (formulação matemática):
- hipótese nula (a afirmação do político):
- hipótese alternativa (o contrário, aqui usamos o teste bilateral porque a hipótese de interesse é que o valor seja exatamente e queremos ver se os dados indicam diferença):
Explicação intuitiva: pensar que
diz “o gasto médio verdadeiro é
milhões”. Queremos checar se a média observada de
milhões é suficientemente diferente, dado a variabilidade e o tamanho da amostra, para concluir que
é incompatível com os dados.
Passo 3
Que teste vamos usar e por quê:
- Temos
(amostra pequena) e só conhecemos o desvio padrão amostral , não o desvio padrão populacional. Portanto o teste apropriado é o teste-t de Student para uma média. - Regras do teste-t: usamos a estatística
onde
é a média amostral,
é o valor sob
,
é o desvio padrão amostral e
é o tamanho da amostra. Essa estatística tem, sob
e se a amostra vem de uma população aproximadamente normal, distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 4
Explicando a fórmula e os termos (mini-aula):
-
: média observada na amostra (nos diz o centro dos dados amostrais). -
: valor reivindicado na hipótese nula ( ). -
: erro padrão da média — ele mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional. é a estimativa da dispersão individual; dividindo por obtemos a dispersão da média. - A razão
diz quantos “erros padrão” a média observada está distante do valor assumido por . Valores absolutos grandes tornam improvável. - Graus de liberdade:
. Com isso achamos valores críticos na tabela ou calculamos p-valor.
Passo 5
Cálculos numéricos passo a passo:
- diferença entre média amostral e valor sob
:
- erro padrão da média:
- estatística de teste
:
(escrevi com vírgula decimal conforme o padrão pedido:
).
Passo 6
Critério de rejeição (teste bilateral) e comparação:
- Para um teste bilateral com
, os pontos críticos são . - O valor crítico da tabela
é aproximadamente - Regra: rejeitar
se .
Comparando:
. Logo não rejeitamos
.
Passo 7
Cálculo aproximado do p‑valor e interpretação:
- p‑valor bilateral é
. - Usando tabelas/ aproximação, obtemos
(aproximadamente; a aproximação normal daria cerca de , mas levando em conta a cauda mais pesada da com 24 graus de liberdade, o p fica um pouco maior — por volta de ). - Interpretação:
, então os dados não fornecem evidência suficiente para rejeitar .
Passo 8
Conclusão em palavras (contexto do problema) e incentivo:
- Conclusão estatística: ao nível de significância de
, não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese de que o gasto médio por escola é . - Em linguagem simples: a média observada de
milhões está abaixo do valor alegado (
milhões), mas essa diferença não é grande o suficiente, dada a variabilidade (desvio padrão de
) e o tamanho da amostra (
), para concluir que o verdadeiro gasto médio difere de milhões. - Você mandou bem trazendo os números; em prova, siga esses passos: escrever
, justificar o uso do , calcular diferença, erro padrão, , comparar com crítico e/ou p‑valor, e concluir. Vai dar certo — respira, repete esses passos com calma e treina mais um exemplo igual.
Resposta
Não se rejeita
: não há evidência, ao nível de
, de que o gasto médio por escola seja diferente de
(estatística
,
).