Em 1997, o parlamento regional de Coimbra, em Portugal, discutiu diversas propostas para reformar o financiamento das escolas públicas. Alegava-se que o valor médio investido por aluno na região era
inferior à média nacional portuguesa, estimada em €5.541. Um estudo conduzido pela organização Cidadania Educativa, considerada referência em avaliações independentes, reportou uma média de 65.015 por aluno.
O presidente da Assembleia Legislativa, Miguel Madeira (Partido Democrático - Coimbra), afirmou que mais de 40 \% da população apoiava o plano do governador Joaquim Esteves de aumentar o imposto de renda regional em mais de 25 \% para financiar melhorias na educação. No entanto, o presidente do Senado, Jaime Pires (Partido Republicano - Vila Real), contestou essa afirmação, alegando que o apoio popular não era tão expressivo. Já o líder republicano Luís Dantas (Partido Republicano - Braga) declarou que o gasto médio por escola na região era de € 2.500 .000.
O assessor do governador para assuntos educacionais, Marcos Barros, realizou uma pesquisa de opinião pública. Descobriu que o gasto médio por aluno era de € 5.112, com base em uma amostra de 1.200 estudantes, assumindo um desvio padrão de € 1.254. Barros também verificou que, entre 25 escolas pesquisadas, a média de gasto por escola era de € 2.200 .000, com desvio padrão de €900.000. Além disso, entre os 1.000 contribuintes entrevistados, 355 afirmaram apoiar o plano do governador de aumentar os impostos para financiar a reforma educacional.
Teste a hipótese de Luís Dantas de que o gasto médio por escola é de € 2.500 .000, com nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O que o problema pede: testar a hipótese de Luís Dantas de que o gasto médio por escola é de \€2.500.000, usando nível de significância de 5\%.
Informações dadas (dados da amostra que vamos usar):
  • tamanho da amostra de escolas: n = 25;
  • média amostral do gasto por escola: \bar{x} = \€2.200.000 (peguei esse valor do enunciado: "a média de gasto por escola era de \€2.200.000" );
  • desvio padrão amostral: s = \€900.000 (peguei esse valor do enunciado: "com desvio padrão de \€900.000");
  • nível de significância: \alpha = 0{,}05.
Observação clara do pedido: devemos decidir, com base nesses dados, se há evidência para rejeitar a afirmação de que o gasto médio por escola é \€2.500.000.

Passo 2

Que hipótese vamos testar (formulação matemática):
  • hipótese nula (a afirmação do político): H_0: \mu = \€2.500.000
  • hipótese alternativa (o contrário, aqui usamos o teste bilateral porque a hipótese de interesse é que o valor seja exatamente \€2.500.000 e queremos ver se os dados indicam diferença): H_1: \mu \neq \€2.500.000
Explicação intuitiva: pensar que H_0 diz “o gasto médio verdadeiro é \€2{,}5 milhões”. Queremos checar se a média observada de \€2{,}2 milhões é suficientemente diferente, dado a variabilidade e o tamanho da amostra, para concluir que H_0 é incompatível com os dados.

Passo 3

Que teste vamos usar e por quê:
  • Temos n = 25 (amostra pequena) e só conhecemos o desvio padrão amostral s, não o desvio padrão populacional. Portanto o teste apropriado é o teste-t de Student para uma média.
  • Regras do teste-t: usamos a estatística t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é o valor sob H_0, s é o desvio padrão amostral e n é o tamanho da amostra. Essa estatística tem, sob H_0 e se a amostra vem de uma população aproximadamente normal, distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Explicando a fórmula e os termos (mini-aula):
  • \bar{x}: média observada na amostra (nos diz o centro dos dados amostrais).
  • \mu_0: valor reivindicado na hipótese nula ( \€2.500.000).
  • s/\sqrt{n}: erro padrão da média — ele mede quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional. s é a estimativa da dispersão individual; dividindo por \sqrt{n} obtemos a dispersão da média.
  • A razão (\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n}) diz quantos “erros padrão” a média observada está distante do valor assumido por H_0. Valores absolutos grandes tornam H_0 improvável.
  • Graus de liberdade: df = n-1 = 24. Com isso achamos valores críticos na tabela t ou calculamos p-valor.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo:
  1. diferença entre média amostral e valor sob H_0:
\bar{x}-\mu_0 = \€2.200.000 - \€2.500.000 = -\€300.000.
  1. erro padrão da média:
s/\sqrt{n} = \frac{\€900.000}{\sqrt{25}} = \frac{\€900.000}{5} = \€180.000.
  1. estatística de teste t:
t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{-\€300.000}{\€180.000} = -1{,}6667\quad(\text{aprox.})
(escrevi com vírgula decimal conforme o padrão pedido: -1{,}6667).

Passo 6

Critério de rejeição (teste bilateral) e comparação:
  • Para um teste bilateral com \alpha = 0{,}05, os pontos críticos são \pm t_{0{,}025;24}.
  • O valor crítico da tabela t é aproximadamente t_{0{,}025;24} \approx 2{,}0639.
  • Regra: rejeitar H_0 se |t| > 2{,}0639.
Comparando: |t| = 1{,}6667 < 2{,}0639. Logo não rejeitamos H_0.

Passo 7

Cálculo aproximado do p‑valor e interpretação:
  • p‑valor bilateral é p = 2\cdot P(T_{24} \le -1{,}6667).
  • Usando tabelas/ aproximação, obtemos p \approx 0{,}11 (aproximadamente; a aproximação normal daria cerca de 0{,}095, mas levando em conta a cauda mais pesada da t com 24 graus de liberdade, o p fica um pouco maior — por volta de 0{,}11).
  • Interpretação: p \approx 0{,}11 > \alpha = 0{,}05, então os dados não fornecem evidência suficiente para rejeitar H_0.

Passo 8

Conclusão em palavras (contexto do problema) e incentivo:
  • Conclusão estatística: ao nível de significância de 5\%, não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese de que o gasto médio por escola é \€2.500.000.
  • Em linguagem simples: a média observada de \€2{,}2 milhões está abaixo do valor alegado ( \€2{,}5 milhões), mas essa diferença não é grande o suficiente, dada a variabilidade (desvio padrão de \€900.000) e o tamanho da amostra ( 25), para concluir que o verdadeiro gasto médio difere de \€2{,}5 milhões.
  • Você mandou bem trazendo os números; em prova, siga esses passos: escrever H_0,H_1, justificar o uso do t, calcular diferença, erro padrão, t, comparar com crítico e/ou p‑valor, e concluir. Vai dar certo — respira, repete esses passos com calma e treina mais um exemplo igual.

Resposta

Não se rejeita H_0: não há evidência, ao nível de 5\%, de que o gasto médio por escola seja diferente de \€2.500.000 (estatística t \approx -1{,}6667, p \approx 0{,}11).

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