Sobre comprimentos de de arco,
[12 pontos] Para uma elipse de eixo maior
a eixo menor
, denotada aqui por
, é impossível o obter uma expressão analítica exata para seu comprimento de arco, mas temos uma forma integral de interesse: considerando a função
chamada de integral elíptica de segunda espécie, deduza que o comprimento em uma volta inteira da elipse
é
Dica: Uma escolha de parametrização da elipse
que facilita é uma parametrização muito parecida com a parametrização horária do círculo, mas também é possível usar a parametrização usual junto de uma substituição na integral.
[12 pontos] Para uma elipse de eixo maior
Passo 1
O enunciado pede para deduzir uma expressão para o comprimento total (uma volta inteira) da elipse
de semieixo maior
e semieixo menor
, mostrando que
onde a função
é dada por
Informações relevantes dadas:
- os semieixos da elipse são
(maior) e (menor); - a integral
está definida para ; - é pedido relacionar o comprimento da elipse com essa integral elíptica de segunda espécie.
Passo 2
Lembrete didático: comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Se uma curva no plano é dada por uma parametrização regular
Se uma curva no plano é dada por uma parametrização regular
o comprimento entre
e
é
Explicando:
é a taxa de variação de
em relação a
e
idem; o integrando
é o comprimento do vetor velocidade, que dá a velocidade escalar ao percorrer a curva. Integrando essa velocidade ao longo do tempo obtemos o comprimento total.
Passo 3
Escolha de parametrização para a elipse.
Uma parametrização natural (análoga à parametrização horária do círculo) é
Uma parametrização natural (análoga à parametrização horária do círculo) é
Essa parametrização percorre a elipse uma vez, no sentido anti-horário. Vou usar essa porque as derivadas ficam simples.
Passo 4
Compute as derivadas e o integrando.
Derivando em relação a temos
Derivando em relação a
Então o quadrado da velocidade é
Portanto o integrando da fórmula do comprimento é
Passo 5
Reescrever o integrando de forma conveniente.
Factorizando da soma dentro da raiz:
Factorizando
Agora use a identidade
para obter
Defina
Observação: como
temos
, então cabe na definição de
(que exige
). Assim o integrando fica
Passo 6
Escrever o comprimento total como integral e usar simetrias.
O comprimento total da elipse é
O comprimento total da elipse é
Agora note que a função
depende apenas de
, então ela tem as seguintes simetrias:
Portanto a integral ao longo de
é quatro vezes a integral sobre
:
(Esse é um fato padrão: as quatro “quartas” da elipse são congruentes e contribuem igualmente para o comprimento total.)
Passo 7
Fazer a substituição de variável para ajustar a forma de
.
Usando a igualdade anterior temos
Usando a igualdade anterior temos
Agora faça a substituição
. Então
e quando
percorre de
a
o
percorre de
a
, e a integral muda de sinal do diferencial, mas trocando os limites recuperamos
Portanto
Passo 8
Reconhecer a integral elíptica de segunda espécie.
Pela definição dada no enunciado,
Pela definição dada no enunciado,
Comparando com a integral que apareceu para
vemos que basta identificar
. Lembrando que
, obtemos
Passo 9
Cheque de consistência (exemplo simples).
Se (círculo de raio
), então
e
Se
logo
, que é o perímetro do círculo — ótimo, está consistente.