Sobre comprimentos de de arco,
[12 pontos] Para uma elipse de eixo maior a a eixo menor b, denotada aqui por E_{a, b}, é impossível o obter uma expressão analítica exata para seu comprimento de arco, mas temos uma forma integral de interesse: considerando a função
E(x)=\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{1-x \sin ^{2} \varphi} d \varphi, \quad x \leq 1
chamada de integral elíptica de segunda espécie, deduza que o comprimento em uma volta inteira da elipse E_{a, b} é
L\left(E_{a, b}\right)=4 a \cdot E\left(1-b^{2} / a^{2}\right) .
Dica: Uma escolha de parametrização da elipse E_{a, b} que facilita é uma parametrização muito parecida com a parametrização horária do círculo, mas também é possível usar a parametrização usual junto de uma substituição na integral.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir uma expressão para o comprimento total (uma volta inteira) da elipse E_{a,b} de semieixo maior a e semieixo menor b, mostrando que
L\bigl(E_{a,b}\bigr)=4a\cdot E\!\left(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right),
onde a função E(x) é dada por
E(x)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-x\sin^{2}\varphi}\,d\varphi,\qquad x\leq 1.
Informações relevantes dadas:
  • os semieixos da elipse são a (maior) e b (menor);
  • a integral E(x) está definida para x\leq 1;
  • é pedido relacionar o comprimento da elipse com essa integral elíptica de segunda espécie.

Passo 2

Lembrete didático: comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Se uma curva no plano é dada por uma parametrização regular
\bigl(x(t),y(t)\bigr),\quad t\in [\alpha,\beta],
o comprimento entre t=\alpha e t=\beta é
L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Explicando: x'(t) é a taxa de variação de x em relação a t e y'(t) idem; o integrando \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é o comprimento do vetor velocidade, que dá a velocidade escalar ao percorrer a curva. Integrando essa velocidade ao longo do tempo obtemos o comprimento total.

Passo 3

Escolha de parametrização para a elipse.
Uma parametrização natural (análoga à parametrização horária do círculo) é
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
Essa parametrização percorre a elipse uma vez, no sentido anti-horário. Vou usar essa porque as derivadas ficam simples.

Passo 4

Compute as derivadas e o integrando.
Derivando em relação a t temos
x'(t)=-a\sin t,\qquad y'(t)=b\cos t.
Então o quadrado da velocidade é
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t.
Portanto o integrando da fórmula do comprimento é
\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t}.

Passo 5

Reescrever o integrando de forma conveniente.
Factorizando a^{2} da soma dentro da raiz:
\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t} = a\sqrt{\sin^{2}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}\cos^{2}t}.
Agora use a identidade \sin^{2}t=1-\cos^{2}t para obter
\sin^{2}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}\cos^{2}t =1-\cos^{2}t+\frac{b^{2}}{a^{2}}\cos^{2}t =1-\Bigl(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\Bigr)\cos^{2}t.
Defina
m=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}.
Observação: como b\le a temos 0\le m\le 1, então cabe na definição de E(x) (que exige x\le 1). Assim o integrando fica
a\sqrt{1-m\cos^{2}t}.

Passo 6

Escrever o comprimento total como integral e usar simetrias.
O comprimento total da elipse é
L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{a^{2}\sin^{2}t+b^{2}\cos^{2}t}\,dt =\int_{0}^{2\pi}a\sqrt{1-m\cos^{2}t}\,dt = a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1-m\cos^{2}t}\,dt.
Agora note que a função f(t)=\sqrt{1-m\cos^{2}t} depende apenas de \cos^{2}t, então ela tem as seguintes simetrias:
f(t)=f(\pi-t)=f(\pi+t)=f(2\pi-t).
Portanto a integral ao longo de [0,2\pi] é quatro vezes a integral sobre [0,\pi/2]:
\int_{0}^{2\pi}f(t)\,dt=4\int_{0}^{\pi/2}f(t)\,dt.
(Esse é um fato padrão: as quatro “quartas” da elipse são congruentes e contribuem igualmente para o comprimento total.)

Passo 7

Fazer a substituição de variável para ajustar a forma de E(x).
Usando a igualdade anterior temos
L=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\cos^{2}t}\,dt.
Agora faça a substituição \varphi=\pi/2-t. Então \cos^{2}t=\sin^{2}\varphi e quando t percorre de 0 a \pi/2 o \varphi percorre de \pi/2 a 0, e a integral muda de sinal do diferencial, mas trocando os limites recuperamos
\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\cos^{2}t}\,dt =\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\varphi}\,d\varphi.
Portanto
L=4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\varphi}\,d\varphi.

Passo 8

Reconhecer a integral elíptica de segunda espécie.
Pela definição dada no enunciado,
E(x)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-x\sin^{2}\varphi}\,d\varphi.
Comparando com a integral que apareceu para L vemos que basta identificar x=m. Lembrando que m=1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}, obtemos
L=4a\cdot E\!\left(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right).

Passo 9

Cheque de consistência (exemplo simples).
Se a=b=R (círculo de raio R), então 1-b^{2}/a^{2}=0 e
E(0)=\int_{0}^{\pi/2}1\,d\varphi=\frac{\pi}{2},
logo L=4a\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi a=2\pi R, que é o perímetro do círculo — ótimo, está consistente.

Resposta

L\bigl(E_{a,b}\bigr)=4a\cdot E\!\left(1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\right)

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