Mostre os seguintes itens:
(a) Em N não há elemento máximo;
(a) Em N não há elemento máximo;
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que em
não existe elemento máximo.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas como propriedades básicas dos naturais): para todo vale que
(fechamento pelos sucessores) e, intuitivamente/definição de ordem,
. Não vamos resolver nada ainda, só listamos o que nos foi dado.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas como propriedades básicas dos naturais): para todo
Passo 2
Definição clara do que significa “elemento máximo”: um elemento
é máximo se, e somente se, para todo
tivermos
. Em palavras:
é maior ou igual a todo elemento de
. Exemplo intuitivo: se um conjunto finito tem máximo, é o maior número que aparece no conjunto.
Passo 3
Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): prova por contradição. Suponhamos que exista um máximo
e mostremos que isso leva a uma contradição com as propriedades listadas no Passo 1.
Passo 4
Desenvolvimento da contradição. Suponha que exista
tal que, para todo
,
. Pela propriedade dos naturais,
. Mas por construção
, então existe um inteiro positivo
tal que
, o que mostra que
(pela definição de ordem em
:
quando existe
com
; aqui
). Portanto
é um elemento de
estritamente maior que
.
Passo 5
Conclusão da contradição. Pelo fato de
ser suposto máximo, todo elemento de
deveria satisfazer
; em particular
. Mas no Passo 4 mostramos que
, o que contradiz
. Portanto a hipótese de existência de
máximo é falsa.
Resposta
Não existe elemento máximo em
.