Mostre os seguintes itens:
(a) Em N não há elemento máximo;

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que em \mathbb{N} não existe elemento máximo.
Informações relevantes que vamos usar (assumidas como propriedades básicas dos naturais): para todo n\in\mathbb{N} vale que n+1\in\mathbb{N} (fechamento pelos sucessores) e, intuitivamente/definição de ordem, n< n+1. Não vamos resolver nada ainda, só listamos o que nos foi dado.

Passo 2

Definição clara do que significa “elemento máximo”: um elemento m\in\mathbb{N} é máximo se, e somente se, para todo x\in\mathbb{N} tivermos x\le m. Em palavras: m é maior ou igual a todo elemento de \mathbb{N}. Exemplo intuitivo: se um conjunto finito tem máximo, é o maior número que aparece no conjunto.

Passo 3

Estratégia que vamos usar (sem resolver ainda): prova por contradição. Suponhamos que exista um máximo m\in\mathbb{N} e mostremos que isso leva a uma contradição com as propriedades listadas no Passo 1.

Passo 4

Desenvolvimento da contradição. Suponha que exista m\in\mathbb{N} tal que, para todo x\in\mathbb{N}, x\le m. Pela propriedade dos naturais, m+1\in\mathbb{N}. Mas por construção m+1 = m + 1, então existe um inteiro positivo 1 tal que m + 1 = m + 1, o que mostra que m< m+1 (pela definição de ordem em \mathbb{N}: a<b quando existe k\in\mathbb{N}\setminus\{0\} com a+k=b; aqui k=1). Portanto m+1 é um elemento de \mathbb{N} estritamente maior que m.

Passo 5

Conclusão da contradição. Pelo fato de m ser suposto máximo, todo elemento de \mathbb{N} deveria satisfazer x\le m; em particular m+1\le m. Mas no Passo 4 mostramos que m< m+1, o que contradiz m+1\le m. Portanto a hipótese de existência de m máximo é falsa.

Resposta

Não existe elemento máximo em \mathbb{N}.

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